Question

№ 1 Розв'яжіть рівняння: - 1) x(2x - 5) - x² = 2(x - 1)(2 − x); 2) 2x² - (x + 1)(x + 19) = (x + 3)(x - 2) + 8. №2 Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1 1) (x - 9)(x + 9) - (x - 3)(x + 27), якщо x = 1 8 7 2) 8a³ - (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²), якщо а = - , b = " 2 № 3 Доведіть, що для будь-якого натурального значення и зна- чення виразу: 1) (n + 2)(n + 3) - n(n - 1) є кратним числу 6; 2) (n - 5)(n + 8) + (n + 1)(2n - 5) + 46 при діленні на 3 дає в остачі 1.​
с объяснением

Answer 1

**№ 1:**

1) Розглянемо рівняння \(x(2x - 5) - x^2 = 2(x - 1)(2 - x)\).

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:

\[2x^2 - 5x - x^2 = 2(2x - 2x + 1)\]

Об'єднуємо подібні члени та спрощуємо:

\[x^2 - 5x = 4\]

Рішенням цього рівняння є \(x = 1\) та \(x = -4\).

2) Розглянемо рівняння \(2x^2 - (x + 1)(x + 19) = (x + 3)(x - 2) + 8\).

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:

\[2x^2 - (x^2 + 20x + 19) = (x^2 + x - 6) + 8\]

Об'єднуємо подібні члени та спрощуємо:

\[x^2 - 21x - 27 = 0\]

Розв'язуємо квадратне рівняння та отримуємо \(x = 27\) та \(x = -1\) як рішення.

**№ 2:**

1) Спростимо вираз \((x - 9)(x + 9) - (x - 3)(x + 27)\), підставимо \(x = 18\):

\[(18 - 9)(18 + 9) - (18 - 3)(18 + 27)\]

\[9 \cdot 27 - 15 \cdot 45\]

\[243 - 675 = -432\]

2) Спростимо вираз \(8a^3 - (2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)\), підставимо \(a = -\frac{1}{2}\) та \(b = 2\):

\[8\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \left(2\left(-\frac{1}{2}\right) - 3 \cdot 2\right)\left(4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 2 + 9 \cdot 2^2\right)\]

\[-1 - (2 + 6 - 36)\]

\[-1 - (-28) = 27\]

**№ 3:**

1) Доведемо, що \( (n + 2)(n + 3) - n(n - 1) \) є кратним числу 6 для будь-якого натурального \(n\).

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

\[n^2 + 5n + 6 - n^2 + n = 6n + 6\]

Отже, вираз завжди кратний числу 6.

2) Доведемо, що \((n - 5)(n + 8) + (n + 1)(2n - 5) + 46\) при діленні на 3 дає в остачі 1.

Розкриваємо дужки та об'єднуємо подібні члени:

\[n^2 + 3n - 40 + 2n^2 - 3n + 5 + 46\]

\[3n^2 + 8 + 46\]

\[3n^2 + 54\]

Цей вираз завжди дає остаток 0 при діленні на 3.