Question

1) Найдите значение выражения (3х1 - 2)(3х2 - 2), если х и х2 являются корнями уравнения x² - 7х + 10 = 0. 2) Найдите значение выражения √x1 + √х2, если х1 и х являются корнями уравнения 4х2 - 17x + 4 = 0 .

Answer 1

Ответ:

1) (3·x₁ - 2)·(3·x₂ - 2) = 52

$\tt \displaystyle 2) \; \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2} =\frac{\sqrt{15} }{2}$

Объяснение:

Теорема Виета. Теорема Виета: Если числа x₁ и x₂ корни квадратного уравнения a·x²+b·x+c = 0, то удовлетворяют уравнениям:

$\tt \displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} } \atop {x_1 \cdot x_2=\dfrac{c}{a} }} \right. .$

Решение. Для вычисления значения выражений применим теорему Виета.

1) Квадратное уравнение имеет вид x²-7·x+10 = 0 и отсюда a=1, b=-7, c=10. Тогда

$\tt \displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-\dfrac{-7}{1} } \atop {x_1 \cdot x_2=\dfrac{10}{1} }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_1+x_2=7 } \atop {x_1 \cdot x_2=10 }} \right. .$

Раскроем скобки в заданном выражении, преобразуем и подставим значения, полученные из теоремы Виета.

(3·x₁ - 2)·(3·x₂ - 2) = 9·x₁·x₂ - 6·x₁ - 6·x₂ + 4 = 9·x₁·x₂ - 6·(x₁ +x₂) + 4 =

= 9·10 - 6·7 + 4 = 90 - 42 + 4 = 52.

2) Квадратное уравнение имеет вид 4·x²-17·x+4 = 0 и отсюда a=4, b=-17, c=4. Тогда

$\tt \displaystyle \left \{ {{x_1+x_2=-\dfrac{-17}{4} } \atop {x_1 \cdot x_2=\dfrac{4}{4} }} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_1+x_2=\dfrac{17}{4} } \atop {x_1 \cdot x_2=1 }} \right. .$

Вычислим значение квадрата заданного выражения, преобразуем и подставим значения, полученные из теоремы Виета.

$\tt \displaystyle (\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2} )^2=x_1+2 \cdot \sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}+x_2= x_1+x_2+2 \cdot \sqrt{x_1 \cdot x_2} = \\\\= \frac{7}{4}+ 2 \cdot \sqrt{1} =\frac{7}{4}+ 2=\frac{15}{4}, \\\\\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2} =\sqrt{\frac{15}{4}}=\frac{\sqrt{15} }{2} .$

#SPJ1