Question

1. Высоты всех боковых граней, проведенные из вершины произвольной пирамиды равны.
Докажите, что высота пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в ее основание;

Answer 1

Припустимо, що у нас є пірамида з вершиною V і висотами, проведеними з цієї вершини до кожної з бічних граней. Відомо, що всі ці висоти є рівними.

Оскільки висоти пірамиди з вершини V до основи є рівними, це означає, що центри всіх кіл, вписаних в бічні грані, лежать на одній прямій (прямій, яка проходить через вершину V і перпендикулярна до площини основи пірамиди). Ця пряма також є лінією, яка проходить через центри всіх вписаних колів.

Отже, коли ми взаємоповернемо ці круги в бічних гранях до площини основи, вони утворять коло, вписане в цю основу пірамиди. Центр цього кола буде точно в центрі вписаного кола, оскільки всі ці центри колів лежать на одній прямій, яка проходить через вершину пірамиди і перпендикулярна до площини основи. Таким чином, висота пірамиди проектується в центр вписаного кола.