Question

Висота конуса дорівнює 8 см. Площина, перпендикулярна до осі конуса перетинає його бічну поверхню по колу, радіус якого дорівнює 3 см. Знайдіть радіус основи конуса, якщо відстань від площини перерізу до площини основи конуса дорівнює 6 см.

Answer 1

Ответ:

Розв'язання:

Площина перерізу конусаОткроется в новом окне

Площина перерізу конуса

Нехай О - вершина конуса, S - центр основи конуса, H - висота конуса, R - радіус основи конуса, r - радіус кола перерізу.

Оскільки площина перерізу перпендикулярна до осі конуса, то вона проходить через вершину конуса О.

Оскільки відстань від площини перерізу до площини основи конуса дорівнює 6 см, то ОS = 6 см.

Також, оскільки площина перерізу проходить через вершину конуса і перетинає бічну поверхню конуса по колу, то вона проходить через точку перетину твірної конуса з цією окружністю. Нехай ця точка перетину називається В.

Оскільки площина перерізу перпендикулярна до осі конуса, то вона проходить через середину твірної конуса, тобто через точку М, яка є серединою відрізка ОВ.

Таким чином, ОM = 3 см.

Оскільки ОS = 6 см, то ОV = 9 см.

Оскільки ОV - висота рівнобедреного трикутника ОВС, то ОВ = ВС.

Таким чином, ВС = 9 см.

Оскільки S - центр основи конуса, то ВС = 2R.

Таким чином, 2R = 9 см, R = 4,5 см.

Отже, радіус основи конуса дорівнює 4,5 см.

Альтернативне рішення:

Розглянемо трикутник ОВS.

Оскільки ОS = 6 см, то ОВ = 9 см.

Також, оскільки ОВS - рівнобедрений трикутник, то ОВ = ВС.

Таким чином, ВС = 9 см.

Оскільки ВС є радіусом основи конуса, то R = ВС = 4,5 см.