Question

Дослідити і побудувати поверхні другого порядку, задані рівняннями x^2-y^2-z^2+2y=0; x^2-4y^2=4

Answer 1

Давайте розглянемо обидві задані поверхні другого порядку:

1. Рівняння \(x^2 - y^2 - z^2 + 2y = 0\):

Це рівняння можна переписати у вигляді \(x^2 - (y^2 - 2y) - z^2 = 0\), і завершити квадрат \(y\):

\(x^2 - (y^2 - 2y + 1) - z^2 = 1\)

Тобто, \(x^2 - (y - 1)^2 - z^2 = 1\), що є рівнянням еліптичного циліндра, центрованого навколо вісі \(x\) і вісі \(y\) сміщеної на одиницю у від'ємному напрямку.

2. Рівняння \(x^2 - 4y^2 = 4\):

Це рівняння можна переписати як \(x^2 = 4(y^2 + 1)\), що є рівнянням параболічного циліндра, центрованого навколо вісі \(x\).

Обидві поверхні мають циліндричну форму, але їх геометрія відрізняється через різницю у вигляді рівнянь.