Question

Обчислити інтеграли методом заміни змінних.

Answer 1

Ответ:

Метод замены переменной .  Применяем формулу

 $\bf \displaystyle \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot ln\Big|\, \frac{x-a}{x+a}\, \Big|+C$    

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^{x}}}=\Big[\ t=\sqrt{1+e^{x}}\ ,\ t^2=1+e^{x}\ ,\ x=ln(t^2-1)\ ,\ dx=\frac{2\, t\ dt}{t^2-1}\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{2\, t\ dt}{(t^2-1)\cdot t}=2\int \frac{dt}{t^2-1}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot ln\Big|\, \frac{t-1}{t+1}\, \Big|+C=\\\\\\= ln\Big|\, \frac{\sqrt{1+e^{x}}-1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}\, \Big|+C$

Или можно так :

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^{x}}}=\Big[\ t=1+e^{x}\ ,\ x=ln(t-1)\ ,\ dx=\frac{dt}{t-1}\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{dt}{(t-1)\cdot \sqrt{t}}=\Big[\ t=u^2\ ,\ dt=2u\, du\ \Big]=\int \frac{2u\, du}{(u^2-1)\cdot u}=\\\\\\=2\int \frac{du}{u^2-1}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot ln\Big|\, \frac{u-1}{u+1}\, \Big|+C= ln\Big|\, \frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1}\, \Big|+C=\\\\\\= ln\Big|\, \frac{\sqrt{1+e^{x}}-1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}\, \Big|+C$