1. Знайдіть первісну функції у=f(x), графік якої проходить через дану точку:
a)° f(x)=6x-4x³-2,
A) (-1;10)
6) f(x)=4e2x-1
B) (1;3e)
2. Обчисліть інтеграли:
a)° integrate (1/(sin^2 x) + 1/(cos^2 x)) dx from 7/6 to 7
6) int^ pi 1 (1/2 * cos(x/2) - 6sin 6x) dx
3. Обчисліть площу фігури, обмеженої даними лініями:
a) y=4-x²; x=-1; x=1; y=0
6) y=6-x²; y=5
Трете завдання з графіками
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1)Для знаходження первісної функції потрібно інтегрувати задану функцію. У зазначених вами функціях ми маємо:
a) f(x) = 6x - 4x³ - 2, точка (-1;10)
6) f(x) = 4e^(2x) - 1, точка (1;3e)
Почнемо з першої функції:
a) Щоб знайти первісну функцію, ми знайдемо невизначений інтеграл від f(x) за змінною x:
∫(6x - 4x³ - 2)dx = 3x² - x⁴ - 2x + C,
де C - довільна константа. Щоб знайти конкретну первісну функцію, підставимо координати точки (-1;10):
10 = 3*(-1)² - (-1)⁴ - 2*(-1) + C,
10 = 3 - 1 - (-2) + C,
10 = 0 + C,
C = 10.
Таким чином, первісна функція, яка проходить через точку (-1;10), буде:
F(x) = 3x² - x⁴ - 2x + 10.
Тепер до другої функції:
6) Знайдемо невизначений інтеграл від f(x) за змінною x:
∫(4e^(2x) - 1)dx = 2e^(2x) - x + C,
де C - довільна константа. Підставимо координати точки (1;3e):
3e = 2e² - 1 + C,
C = 3e - 2e² + 1.
Отже, первісна функція, яка проходить через точку (1;3e), буде:
F(x) = 2e^(2x) - x + (3e - 2e² + 1).
Таким чином, ми знайшли первісні функції, які проходять через задані точки.
2) a) Щоб знайти інтеграл виразу (1/(sin^2 x) + 1/(cos^2 x)) dx від 7/6 до 7, використаємо тригонометричні тотожності. Почнемо з перетворень:
1/sin^2 x = csc^2 x,
1/cos^2 x = sec^2 x.
Тепер ми можемо записати дане вираження як:
csc^2 x + sec^2 x.
Знаючи, що
csc^2 x = 1 + cot^2 x,
sec^2 x = 1 + tan^2 x,
ми можемо переписати вираз як:
1 + cot^2 x + 1 + tan^2 x,
або просто:
2 + cot^2 x + tan^2 x.
Тепер ми можемо замінити cot^2 x + tan^2 x на csc^2 x * sec^2 x:
2 + csc^2 x * sec^2 x.
Вираз цілком складний, але ми можемо розкрити його, використовуючи тотожність csc^2 x * sec^2 x = 1:
2 + 1 = 3.
Тепер ми можемо обчислити інтеграл:
∫(1/(sin^2 x) + 1/(cos^2 x)) dx від 7/6 до 7
= ∫(3) dx від 7/6 до 7
= 3x ∣ від 7/6 до 7
= 3*7 - 3*(7/6)
= 21 - 7/2
= 35/2.
Отже, значення інтегралу дорівнює 35/2.
б) Наступний інтеграл виглядає так:
∫(1/2 * cos(x/2) - 6sin(6x)) dx від 0 до π.
Щоб обчислити цей інтеграл, розглянемо кожен доданок окремо. Почнемо з першого доданку:
∫(1/2 * cos(x/2)) dx від 0 до π.
Виконаємо заміну:
u = x/2,
du = (1/2)dx.
Після заміни ми отримаємо:
∫cos(u) du від 0 до π
= sin(u) ∣ від 0 до π
= sin(π) - sin(0)
= 0.
Тепер розглянемо другий доданок:
∫(-6sin(6x)) dx від 0 до π.
Здійснимо заміну:
u = 6x,
du = 6dx.
Після заміни отримаємо:
-6∫sin(u) du від 0 до 6π
= 6cos(u) ∣ від 0 до 6π
= 6(cos(6π) - cos(0))
= 6(1 - 1)
= 0.
Таким чином, доданки інтегралу дорівнюють 0, отже
∫(1/2 * cos(x/2) - 6sin(6x)) dx від 0 до π дорівнює 0.
Отже, значення цього інтегралу дорівнює 0.
3) Обчислимо площу фігур, обмежених даними лініями.
a) Спочатку обчислимо точки перетину:
y=4-x² та y=0:
4-x²=0
x²=4
x=±2
Таким чином, ми знаходимо точки перетину (-2,0) та (2,0).
Отже, ми отримали фігуру, обмежену лініями x=-1, x=1, та y=4-x² між x=-2 та x=2.
Інтегруючи y=4-x² від x=-2 до x=2, отримаємо площу під кривою:
∫(4-x²)dx = 4x - (x³/3) | від -2 до 2
= 42 - (2³/3) - (4(-2) - ((-2)³/3))
= 8 - (8/3) - (-8 - (8/3))
= 8 - 8/3 + 8 + 8/3
= 16
Отже, площа фігури, обмеженоє даною лінією, дорівнює 16.
b) Тепер розглянемо фігуру, обмежену лініями y=6-x² та y=5. Щоб знайти точки перетину, вирішимо систему рівнянь:
6-x² = 5
x² = 1
x = ±1
Таким чином, точки перетину - (1,5) та (-1,5).
Фігура, обмежена лініями y=6-x² та y=5 між x=-1 та x=1.
Інтегруючи y=6-x² від x=-1 до x=1, отримаємо площу під кривою:
∫(6-x²)dx = 6x - (x³/3) | від -1 до 1
= 61 - (1³/3) - (6(-1) - ((-1)³/3))
= 6 - 1/3 - (-6 - (-1/3))
= 6 - 1/3 + 6 + 1/3
= 12
Таким чином, площа фігури, обмеженоє даною лінією, дорівнює 12.
Отже, площа фігури, обмеженоє лініями, дорівнює 16 та 12 відповідно.
Сподіваюся все правильно