Срочно!!! 45 баллов без комисии. У трикутнику АBC: ACB = 27°; BAC = 63°. Пряма AN перпендикулярна до площини трикутника АВС. Доведіть, що NB BC.
Ответы
Ответ:
Оскільки AN перпендикулярна до площини трикутника ABC, то AN є висотою цього трикутника.
Також відомо, що трикутник ABC є розгорнутим трикутником, оскільки сума його кутів дорівнює 180°.
Отже, кут BAC + кут ACB + кут CBA = 180°.
Підставим відомі значення: 63° + 27° + кут CBA = 180°.
Знайдемо кут CBA: кут CBA = 180° - 63° - 27° = 90°.
Таким чином, кут CBA (кут при вершині B) є прямим кутом.
Оскільки AN є висотою трикутника ABC, і кут CBA прямий, то ми можемо використовувати властивості прямокутних трикутників. У прямокутному трикутнику ANB відомо, що кут ANB прямий (90°).
Таким чином, за теоремою Піфагора маємо: AB^2 = AN^2 + NB^2.
Оскільки AN є висотою, то AN = AC * sin(ACB).
Також, за теоремою синусів у трикутнику ABC: AC / sin(BAC) = BC / sin(ACB).
Підставим відомі значення: AN = AC * sin(ACB) = AC * sin(27°).
Тепер підставим у рівняння Піфагора: AB^2 = (AC * sin(27°))^2 + NB^2.
Оскільки NB = BC (оскільки NB є відрізком від вершини B до середини сторони AC), то можемо записати: AB^2 = (AC * sin(27°))^2 + BC^2.
Отже, ми довели, що AB^2 = AN^2 + NB^2, що вказує на те, що трикутник ANB є прямокутним трикутником за теоремою Піфагора.