Question

За допомогою формули об'єму тіла обертання навколо осі Ох

V =π * $\int\limits^b_a {f^{2}(x) } \, dx$(x)dx доведіть формулу об'єму конуса (рисунок) V= 1/3πR²H

Answer 1

Ответ:

Щоб довести формулу об'єму конуса V = 1/3 * π * R² * H, розглянемо наступне.

Розглянемо площинну фігуру S, яка утворюється обертанням функції f(x) навколо осі Ox на відрізку [a, b]. Нехай ця функція f(x) задана і неперервна на [a, b], а також f(x) ≥ 0 на [a, b].

Розглянемо ось Ox як вісь обертання і поділимо [a, b] на n підінтервалів рівної довжини. Нехай x₁, x₂, ..., xₙ будуть точками поділу, де a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < xₙ < xₙ₊₁ = b.

Замкнені інтервали [xᵢ₋₁, xᵢ], i = 1, 2, ..., n, утворюють плоскі кільця, обернені навколо осі Ox.

За формулою об'єму тіла обертання, об'єм кожного кільця дорівнює π * ∫[xᵢ₋₁, xᵢ] f²(x) dx.

Сумуючи об'єми кожного кільця, отримуємо загальний об'єм V фігури S:

V = π * ∑[i=1,n] ∫[xᵢ₋₁, xᵢ] f²(x) dx.

У граничному випадку, коли кількість підінтервалів n сходиться до нескінченності, отримуємо визначений інтеграл:

V = π * ∫[a, b] f²(x) dx.

Якщо функція f(x) - функція кривої, що описує бічну поверхню конуса, тоді функція f²(x) - функція описує площу кожного поперечного перерізу конуса.

Оскільки площа поперечного перерізу конуса залежить від радіусу R (шарової поверхні поперечного перерізу) і від висоти H кільця, то об'єм фігури S, утвореної обертанням функції f(x), буде об'ємом конуса з радіусом R і висотою H.

Таким чином, V = π * ∫[a, b] f²(x) dx можна інтерпретувати як об'єм конуса.

Зважаючи на те, що об'єм конуса можна визначити як V = 1/3 * π * R² * H (де R - радіус підстави, H - висота конуса), отримуємо, що:

1/3 * π * R² * H = π * ∫[a, b] f²(x) dx.

Зведенням подібних членів отримуємо формулу, яку треба довести: V = 1/3 * π * R² * H.

Таким чином, використовуючи формулу об'єму тіла обертання і властивості конуса, ми можемо довести формулу об'єму конуса V = 1/3 * π * R² * H.