Question

Найдите производную : y=x^lnx
(C объяснением желательно)

Answer 1

Ответ:

$y'=2x^{\ln x-1}\ln x$

Решение:

Рассмотрим функцию:

$y=x^{\ln x}$

Находить производную будем используя логарифмическое дифференцирование. Сначала прологарифмируем обе части соотношения:

$\ln y=\ln x^{\ln x}$

В правой части воспользуемся свойством логарифмов:

$\ln y=\ln x\cdot\ln x$

$\ln y=\ln^2 x$

Теперь продифференцируем обе части:

$\left(\ln y\right)'=\left(\ln^2 x\right)'$

Отметим, что в обеих частях соотношения записана производная сложной функции, поэтому воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2\ln x\cdot (\ln x)'$

$\dfrac{1}{y}\cdot y'=2\ln x\cdot \dfrac{1}{x}$

Выразим производную:

$y'=y\cdot \dfrac{2\ln x}{x}$

Подставим значение функции:

$y'=x^{\ln x}\cdot \dfrac{2\ln x}{x}$

Используя свойство степеней, результат можно записать в виде:

$\boxed{y'=2x^{\ln x-1}\ln x}$

Элементы теории:

Свойство логарифмов:

$\log_a b^c=c\log_ab$

Производная сложной функции:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Основные формулы дифференцирования:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$