8.9. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициен- тами так, чтобы один из его корней был равен:
1) 7:
2) -√7;
3) 1 + √7;
4) 2-√3.
Ответы
Ответ:
1) Давайте предположим, что квадратное уравнение, которое мы хотим сформировать, имеет вид ax ^ 2 + bx + c = 0.
Учитывая, что один из корней равен 7, мы знаем, что (x - 7) является одним из множителей квадратного уравнения. Чтобы найти другой множитель, мы можем использовать тот факт, что сумма корней квадратного уравнения равна -b/a.
Итак, если один корень равен 7, а сумма корней равна -b/a, то сумма корней в нашем случае равна 7 + (другой корень) = -b/a.
Упрощая это выражение, мы получаем 7 + (другой корень) = -b/a. Поскольку мы хотим, чтобы другой корень был рациональным, давайте предположим, что другой корень равен s = p/q, где p и q - целые числа.
Теперь у нас есть: 7 + p/q = -b/a.
Упрощая далее, мы умножаем обе части на aq, чтобы получить: 7aq + ap = -bq.
Поскольку мы хотим, чтобы коэффициенты были рациональными, давайте предположим, что a = m/n и b = r/s, где m, n, r и s - целые числа.
Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, мы имеем:
(7mnq + ampn) / ns = -rq.
Теперь, поскольку нам нужны рациональные коэффициенты, мы можем выбрать n = s и отменить знаменатели. Это дает нам:
7mq + ampn = -rqs.
Мы можем выбрать m = 1, p = 1 и q = 1 для дальнейшего упрощения:
7 + a = -rs.
Наконец, если мы допустим a = 0, мы получим: 7 = -rs, что представляет собой квадратное уравнение с рациональными коэффициентами и одним корнем из 7.
Следовательно, квадратное уравнение с одним корнем в виде 7 равно:
7x = -xy.
2) Аналогично предыдущему случаю, мы знаем, что (x + √7) является одним из множителей квадратного уравнения. Предполагая, что другой корень равен s = p / q, где p и q - целые числа:
(√7 + p/q) = -b/a
Умножая обе части на aq, мы получаем:
√7aq + ap = -bq
Предполагая, что a = m/n и b = r/s, где m, n, r и s - целые числа, и подставляя эти значения в уравнение, мы имеем:
√7mnq + ampn = -rqs
Выбирая m = 1, n = 1 и q = 1 для дальнейшего упрощения, мы имеем:
√7 + a = -rs
Допуская a = 0, мы получаем:
√7 = -rs
Следовательно, квадратное уравнение с одним корнем в виде -√7 имеет вид:
(√7)x + √7 = 0
3) Следуя тому же процессу, что и выше:
(1 + √7 + p/q) = -b/a
Упрощая, мы имеем:
1 + √7aq + ap = -bq
Предполагая, что a = m/n и b =