Предмет: Математика, автор: Jake901

5. Методом математичної індукції довести, що для будь-якого натурального п 3^2n+2 - 8n - 9 кратне 64

Ответы

Автор ответа: Ivan19074
1

Ответ:

-

Пошаговое объяснение:

Дано f(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9. Теперь давайте вычислим значение выражения f(n+1) - f(n):

f(n+1) = 3^{2(n+1)+2} - 8(n+1) - 9 = 3^{2n+4} - 8n - 17\\f(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9\\\\f(n+1) - f(n) = 3^{2n+4} - 8n - 17 - (3^{2n+2} - 8n - 9) = (3^{2n+4} - 3^{2n+2}) - 8 = 3^{2n+2}(9 - 1) - 8 = 8(3^{2n+2} - 1) = 8(9^{n+1} - 1)

Поскольку 9 от деления на 8 имеет остаток 1, то 9^{n+1} также будет иметь остаток 1 от деления на 8 при любых натуральных n. Следовательно, 9^{n+1} - 1 будет всегда делиться на 8, а следовательно, f(n+1) - f(n) будет всегда делиться на 8*8 = 64.

Мы осуществили переход индукции: если при каком-то n f(n) делится на 64, то при всех следующих за ним натуральных числах f(k)\\ также делится на 64 (так как сумма двух чисел, которые делятся на 64, также делится на 64).

Давайте теперь докажем базу индукции:

Подставим n = 1. f(1) = 3^{2*1+2} - 8*1 - 9 =64. 64 делится на 64. Следовательно, при всех натуральных числах, которые больше или равны 1 (то есть вообще всех натуральных числах) значение выражения делится на 64.

Задача решена.


Jake901: спасибо огромное
Ivan19074: кстати ты в каком классе?
Ivan19074: пожалуйста
Jake901: я в коледже учусь)
Jake901: у меня просто предмет есть алгоритмы и структуры данных
Jake901: очень не приятный
Jake901: я не шарю просто за метод мат. индукции
Jake901: я хорошо развязываю проценты, логарифмы и остальные задачи но именно эта тема для меня просто ужас
Jake901: я так понял с арками там типок ошибся
Похожие вопросы
Предмет: Физика, автор: gpetrovskaa627
Предмет: География, автор: kristinatomaks
Предмет: Алгебра, автор: tvoisenpaj933
Предмет: Русский язык, автор: Аноним