Question

Найдите в градусах наименьший положительный корень уравнения sin 4x cos 16° + cos 4x sin16°=0

Answer 1

Ответ:

наименьший положительный корень уравнения в градусах:

x = 41°

Пошаговое объяснение.

Найдите в градусах наименьший положительный корень уравнения sin 4x·cos 16° + cos 4x · sin16° = 0

• Формула синус суммы двух углов:
  $\displaystyle \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$
• Формула корней уравнения sin t = 0:
  t = πk, k∈Z
  

1) Преобразуем левую часть уравнения по формуле синуса суммы двух углов:

sin 4x·cos 16° + cos 4x · sin16° = sin (4x + 16°);

Получим равносильное уравнение:

sin (4x + 16°) = 0

2) Найдем корни уравнения.

$\displaystyle 4x + 16^{o} = \pi k, \;\;k \in Z \\\\4x + = -16^{o}+\pi k, \;\;k \in Z \\\\x = \frac{ -16^{o}}{4}+\frac{\pi k}{4} = -4^{o} +\frac{\pi k}{4} ,\;\;k \in Z$

π радиан = 180°

x = -4° + 180°k/4 = -4° + 45°k

3) По условию требуется найти наименьший положительный корень.

x > 0;

-4° + 45°k > 0;

k > 4°/45°

Так как 4/45 - это правильная дробь, она меньше 1, а число k принимает только целые значения, то ближайшее целое значение, большее полученной дроби, это k = 1.

x = -4° + 45° · 1 = -4° + 45° = 41°

Наименьший положительный корень уравнения в градусах:

x = 41°

#SPJ1