Определить натуральную величине расстояния от точки D до плоскости, заданной треугольником АВС (решить задачу без преобразования ортогональных проекций).
А:35;50;70
В:65;10;20
С:0;0;25
D:50;0;50
Ответы
Ответ:
Для решения этой задачи нам нужно найти расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником ABC.
Сначала найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C. Для этого воспользуемся формулой для уравнения плоскости, проходящей через три точки:
Ax + By + Cz + D = 0
где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости, а D - свободный член.
Найдем вектор нормали к плоскости, используя векторное произведение векторов AB и AC:
N = AB x AC
где AB и AC - векторы, заданные координатами точек A, B и C.
Подставим координаты точек A, B и C:
AB = (65-35, 10-50, 20-70) = (30, -40, -50)
AC = (0-35, 0-50, 25-70) = (-35, -50, -45)
N = (30, -40, -50) x (-35, -50, -45) = (-2000, 1450, -950)
Тепер найдем свободный член D, подставив координаты точки A:
D = -A * N
D = -(35*(-2000) + 50*1450 + 70*(-950)) = 70000 + 72500 - 66500 = 76000
Итак, уравнение плоскости:
-2000x + 1450y - 950z + 76000 = 0
Тепер найдем расстояние от точки D до этой плоскости. Для этого воспользуемся формулой:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
где (x, y, z) - координаты точки D.
Подставим координаты точки D и коэффициенты уравнения плоскости:
d = |(-2000*50 + 1450*0 - 950*50 + 76000)| / √((-2000)^2 + 1450^2 + (-950)^2)
d = |(-100000 - 47500 - 47500 + 76000)| / √(4000000 + 2102500 + 902500)
d = |(-29000)| / √(7005000)
d ≈ 29000 / 2647.6
d ≈ 10.94
Итак, расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником ABC, приблизительно равно 10.94 единицам длины.