Question

Знайти число і суму всіх натуральних дільників та значення функції Ейлера для числа 720
Потрібно на зараз з поясненням
Будь ласка

Answer 1

Ответ:

30; 2418; 192

Пошаговое объяснение:

Сначала разложим 720 на множители:

720 = 2⁴ * 3² * 5

Следовательно, у нас есть 4+1=5 вариантов для двойки (делитель содержит от 0 до 4 двоек включительно), 2+1=3 вариант для тройки и 1+1=2 варианта для пятёрки. Следовательно, у числа 720 5*3*2=30 делителей.

Функция суммы всех натуральных делителей мультипликативна, то есть S(ab) = S(a)*S(b), если a и b взаимно простые числа.

Также есть специальная формула для вычисления S(p^n): $S(p^n) = \frac{p^{n+1} - 1}{p-1}$, где p - простое число, а n - натуральное.

То есть, $S(720) = S(2^4) * S(3^2) * S(5^1) = \frac{2^5 - 1}{2 - 1} * \frac{3^3-1}{3-1} * \frac{5^2-1}{5-1} = 31*13*6 = 2418.$

Функция Эйлера - это количество чисел, меньших аргумента функции, взаино простых с аргументом функции, и она также является мультипликативной. φ(p^n) = p^(n-1) * (p-1), следовательно, φ(720) = φ(2^4) * φ(3^2) * φ(5^1) = 8*6*4 = 192.