20 балів. Розпишіть!
Сторона трикутника 24 см, а радіус описаного кола - 8 см. Чому дорівнює кут трикутника, протилежний даній стороні?
Ответы
Ответ:
Для розв'язання задачі можна скористатися формулою, яка пов'язує радіус описаного кола трикутника з його сторонами та площею:
R = abc / 4S,
де R - радіус описаного кола, a, b та c - сторони трикутника, S - його площа.
Знаючи сторону трикутника a = 24 см та радіус описаного кола R = 8 см, можемо знайти площу трикутника:
S = abc / 4R = (24 см) * b * c / (4 * 8 см) = 3bc см².
Звернімо увагу, що так як трикутник має описане коло, то його сторони є діаметрами цього кола, тобто b = 2R та c = 2R.
Підставляючи ці значення в формулу для площі трикутника, отримаємо:
S = 3bc см² = 3 * 2R * 2R см² = 12R² см².
З іншого боку, площа трикутника може бути виражена через його сторони та радіус описаного кола за формулою Герона:
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)),
де p - півпериметр трикутника, тобто p = (a + b + c) / 2.
Підставляючи значення сторони a = 24 см та b = c = 2R в цю формулу, отримаємо:
S = √(p(p - 24 см)(p - 2R)(p - 2R)),
де p = (24 см + 2R + 2R) / 2 = 12 см + R.
Підставляючи це значення p та скориставшись формулою для площі трикутника, отримаємо:
12R² см² = √(p(p - 24 см)(p - 2R)(p - 2R)).
Піднесемо обидві частини рівності до квадрату:
144R⁴ см⁴ = p(p - 24 см)(p - 2R)(p - 2R).
Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:
144R⁴ см⁴ = (12 см + R)R(12 см - R)(12 см - R),
144R⁴ см⁴ = R(144 см² - 24R см + R²).
Ділимо обидві частини рівності на R і переносимо все до одного боку:
0 = R² - 24R + 144,
або
R² - 24R + 144 = 0.
Ця квадратна рівняння має два розв'язки: R1 = R2 = 12 см.
Звернімо увагу, що ми знаходимо радіус описаного кола трикутника, тому він не може бути більший за половину сторони трикутника, інакше трикутник не може бути вписаний в це коло. Таким чином, правильний розв'язок - R = 8 см.
Нарешті, для знаходження кута трикутника, протилежного заданій стороні, можна скористатися теоремою косинусів:
cos A = (b² + c² - a²) / 2bc,
де A - кут трикутника, протилежний стороні a.
Підставляючи значення сторін b = c = 2R = 16 см та a = 24 см, отримаємо:
cos A = (16² + 16² - 24²) / 2 * 16 * 16 = -1 / 8.
Оскільки cos A є від'ємним, то кут A лежить у другому або третьому квадранті. Тому можна записати:
A = 180° - arccos(-1/8) ≈ 143,1°.
Отже, кут трикутника, протилежний заданій стороні, дорівнює близько 143,1°.