Question

Дано трапецію ABCD (BC|| AD). Яку фігуру утворюють середини (усіх можливих) відрізків з кінцями на різних основах трапеції? Відповідь
обгрунтуйте.
Помогите пожалуйста, очень срочно надо

Answer 1

Фігура, утворена серединами всіх можливих відрізків з кінцями на різних основах трапеції ABCD, є паралелограмом.

Для обгрунтування цього твердження розглянемо кілька властивостей трапеції та паралелограма.

1. У трапеції протилежні сторони паралельні: BC || AD.
2. У трапеції діагоналі, які з'єднують середини протилежних сторін, перетинаються в точці, яка ділить кожну з них на дві рівні частини. Нехай M і N - середини сторін AB і CD відповідно, і P - точка їх перетину. Тоді MP = PN і MP || BC || AD.
3. У паралелограмі протилежні сторони паралельні.
4. У паралелограмі протилежні сторони рівні за довжиною.

Тепер доведемо, що фігура, утворена серединами відрізків з кінцями на різних основах трапеції ABCD, є паралелограмом.

Позначимо середини сторін AB і CD як M і N відповідно. Також позначимо середину BC як X, а середину AD як Y.

Оскільки M і X є серединами сторони AB, то за властивістю 2, відрізок MX паралельний BC і AD. Аналогічно, NY || BC || AD.

Тепер розглянемо паралелограм MNYX. За властивістю 3 паралелограма, MY || NX. Оскільки MX || BC || AD і NY || BC || AD, то за властивістю 1 паралелограма, MX || NY.

Також, за властивістю 4 паралелограма, MY = NX. Оскільки MX || NY і MY = NX, ми маємо паралелограм MNYX.

Таким чином, фігура, утворена серединами всіх можливих відрізків з кінцями на різних основах трапеції ABCD, є паралелограмом MNYX.

Окрім того, можна показати, що цей паралелограм є також серединним паралелограмом, тобто його діагоналі діляться на пів.

Таким чином, відповідь: фігура, утворена серединами відрізків з кінцями на різних основах трапеції ABCD, є серединним паралелограмом MNYX.