Question

lim стремится к 5 (sin πx/2) в степени 1/(x-1))​

Answer 1

Решение .

Вычислить предел . Применяем 2 замечательный предел .

$\bf \lim\limits_{x \to 1}\Big(sin\dfrac{\pi x}{2}\Big)^{\frac{1}{x-1}}=\Big[\ 1^{\infty }\ \Big]=\lim\limits_{x \to 1}\Big(1+sin\dfrac{\pi x}{2}-1\Big)^{\frac{1}{x-1}}=\\\\\\=\lim\limits_{x \to 1}\Big(1+\underbrace{(\bf sin\dfrac{\pi x}{2}-1)}_{\to 0}\Big)^{\frac{1}{x-1}}=\lim\limits_{x \to 1}\Big(1+(sin\dfrac{\pi x}{2}-1)\Big)^{\frac{1}{sin\frac{\pi x}{2}-1}\cdot \frac{sin\frac{\pi x}{2}-1}{x-1}}=$  

$\bf \displaystyle =\lim\limits_{x \to 1}\left(\Big(1+(sin\dfrac{\pi x}{2}-1)\Big)^{\frac{1}{sin\frac{\pi x}{2}-1}}\right)^{\frac{sin\frac{\pi x}{2}-1}{x-1}}=e^{\ ^{\bf \lim\limits_{x \to 1}\frac{sin\frac{\pi x}{2}-1}{x-1}}}\ ;$    

Вычислим отдельно предел в показателе степени . Если можно по условию, то проще применить к вычислению этого предела правило Лопиталя .

$\bf \displaytsyle \lim\limits_{x \to 1}\frac{sin\dfrac{\pi x}{2}-1}{x-1}=-\lim\limits_{x \to 1}\frac{1-sin\dfrac{\pi x}{2}}{x-1}=-\lim\limits_{x \to 1}\frac{1-cos\Big(\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi x}{2}\Big)}{x-1}=$          

$\bf \displaystyle =-\lim\limits_{x \to 1}\ \frac{2\ sin^2\Big(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{\pi x}{4}\Big)}{x-1}=\Big[\ sin\alpha \sim \alpha \ ,\ \ \alpha \to 0\ \Big]=-\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{2\, \Big(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{\pi x}{4}\Big)^2}{x-1}=\\\\\\=-\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{2\cdot \dfrac{\pi ^2}{16}\cdot \Big(1-x\Big)^2}{-(1-x)}=\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{2\cdot \dfrac{\pi ^2}{16}\cdot \Big(1-x\Big)^2}{1-x}=\lim\limits_{x \to 1}\dfrac{2\cdot \pi ^2}{16}\cdot \Big(1-x\Big)=0$

$\bf Otvet:\ \ \displaystyle \lim\limits_{x \to 1}\left(sin\dfrac{\pi x}{2}\right)^{\frac{1}{x-1}}=e^{\ ^{\bf \lim\limits_{x \to 1}\frac{sin\frac{\pi x}{2}-1}{x-1}}}=e^0=1$  .