У фокусника есть два легких стакана с водой и кусочек льда. В первый стакан налито 100 г горячей воды с температурой 60°С, во второй 150 г холодной воды с температурой 20°С. Лёд имеет температуру 0°С и массу 50 г. Фокусник сначала опускает лёд в стакан с холодной водой, затем несколько раз переливает содержимое из одного стакана в другой. В итоге в первом стакане оказалось 200 г воды с температурой 15°С. Сколько воды и с какой температурой находится во втором стакане?
Известно, что содержимое каждого стакана находится в состоянии теплового равновесия, вода в процессе переливаний не проливалась, а теплоемкостью стаканов и теплопотерями можно пренебречь. Удельная теплоемкость воды cв = 4200 Дж/кг·°C, теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг.
Ответы
Давайте рассмотрим, как происходит процесс смешивания воды и льда:
1. Сначала лёд тает во втором стакане. Для этого нужно расходовать тепло на плавление льда и нагревание получившейся воды до температуры 15°C.
Масса льда, m_льда = 50 г = 0.05 кг
Температура начальная, T_льда = 0°C
Температура конечная, T_конечная = 15°C
Теплота плавления льда, λ = 336 кДж/кг = 336000 Дж/кг
Количество тепла для плавления льда:
Q_плавление = m_льда * λ = 0.05 кг * 336000 Дж/кг = 16800 Дж
Количество тепла для нагревания воды до 15°C:
Q_нагрев = m_льда * c_в * (T_конечная - T_льда) = 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C * (15°C - 0°C) = 3150 Дж
Общее количество тепла, затраченное на этот процесс:
Q_общее = Q_плавление + Q_нагрев = 16800 Дж + 3150 Дж = 19950 Дж
2. Теперь у нас во втором стакане есть 150 г (0.15 кг) холодной воды с начальной температурой 20°C и добавленная ранее таящаяся вода с температурой 15°C. Давайте обозначим массу холодной воды как m_холодной_воды, а массу таящейся воды как m_таящейся_воды.
Масса холодной воды, m_холодной_воды = 0.15 кг
Температура холодной воды, T_холодной_воды = 20°C
Теперь мы знаем, что общее количество тепла во втором стакане остается неизменным (поскольку тепловые потери и теплоемкость стаканов не учитываются). Таким образом, мы можем записать уравнение:
Q_общее = m_холодной_воды * c_в * (T_конечная_в_втором_стакане - T_холодной_воды) + m_таящейся_воды * c_в * (T_конечная_в_втором_стакане - T_таящейся_воды)
где T_конечная_в_втором_стакане - это конечная температура во втором стакане, которую мы хотим найти.
Мы знаем Q_общее (19950 Дж), m_холодной_воды (0.15 кг), c_в (4200 Дж/кг·°C), T_холодной_воды (20°C) и T_таящейся_воды (15°C). Давайте решим это уравнение относительно T_конечная_в_втором_стакане:
19950 Дж = 0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C * (T_конечная_в_втором_стакане - 20°C) + 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C * (T_конечная_в_втором_стакане - 15°C)
Теперь решим это уравнение для T_конечная_в_втором_стакане. Это может потребовать вычисления итеративно или с использованием методов численного анализа. Попробуем сначала выразить T_конечная_в_втором_стакане:
19950 Дж = 0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C * T_конечная_в_втором_стакане - 0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C * 20°C + 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C * T_конечная_в_втором_стакане - 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C * 15°C
Теперь объединим все члены с T_конечная_в_втором_стакане:
19950 Дж = (0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C + 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C) * T_конечная_в_втором_стакане - 0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C * 20°C - 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C * 15°C
Теперь решим это уравнение:
T_конечная_в_втором_стакане = (19950 Дж + 0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C * 20°C + 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C * 15°C) / (0.15 кг * 4200 Дж/кг·°C + 0.05 кг * 4200 Дж/кг·°C)
Рассчитаем T_конечная_в_втором_стакане:
T_конечная_в_втором_стакане = (19950 Дж + 12600 Дж + 3150 Дж) / (630