Тело совершает поступательное движение из точки А по участку АВ (длиной L) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ секунд. Его начальная скорость VA. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.
В точке В тело покидает плоскость со скоростью VB и попадает
со скоростью VC в точку С участка BC, наклоненного под углом β к
горизонту, находясь в воздухе Т секунд.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать. Дано: VA = 0 м/с; τ = 2 с; l = 9 м; β = 45о; f = 0. Определить α и T.
Ответы
Ответ:
Для решения задачи будем использовать законы сохранения энергии. Сначала рассмотрим движение тела от точки A до B по наклонной плоскости.
1. **От точки A до B:**
- Потенциальная энергия \(U_A\) преобразуется в кинетическую энергию \(K_B\) и силу трения \(F_{\text{тр}}\):
\[U_A = K_B + F_{\text{тр}} \]
\[mgh\sin\alpha = \frac{1}{2}mv_B^2 + f \cdot m \cdot l \]
- Так как \(VA = 0\), то \(U_A = 0\).
\[0 = \frac{1}{2}mv_B^2 + f \cdot m \cdot l \]
\[\frac{1}{2}v_B^2 = f \cdot l \cdot g \sin\alpha \]
\[v_B = \sqrt{2fgl\sin\alpha} \]
2. **От точки B до C:**
- Потенциальная энергия \(U_B\) преобразуется в кинетическую энергию \(K_C\):
\[U_B = K_C \]
\[mgl\sin\beta = \frac{1}{2}m(v_C^2 - v_B^2) \]
- Подставим выражение для \(v_B\) из первого шага:
\[mgl\sin\beta = \frac{1}{2}m(v_C^2 - 2fgl\sin\alpha) \]
\[v_C^2 = 2gl\sin\beta + v_B^2 \]
3. **От точки C до земли:**
- Потенциальная энергия \(U_C\) преобразуется в кинетическую энергию \(K_D\) и силу трения \(F_{\text{тр}}\):
\[U_C = K_D + F_{\text{тр}} \]
\[mgl\sin\beta = \frac{1}{2}m(v_D^2) + f \cdot m \cdot l \]
- Подставим выражение для \(v_C\) из второго шага:
\[mgl\sin\beta = \frac{1}{2}m((2gl\sin\beta + v_B^2) - 2fgl\sin\alpha) + f \cdot m \cdot l \]
\[mgl\sin\beta = (gl\sin\beta + \frac{1}{2}v_B^2) - fgl\sin\alpha + f \cdot l \]
\[\frac{1}{2}v_B^2 = fgl\sin\alpha + f \cdot l \]
\[v_B = \sqrt{2fgl(\sin\alpha + 1)} \]
Теперь, учитывая заданные значения и решая систему уравнений, можно определить значения угла \(\alpha\) и времени \(T\).