Заданы координаты вершин пирамиды. Помогите пожалуйста
Ответы
Даны вершины пирамиды: А1(5; 4; 1), А2(-1; -2; -2), А3(3; -2; 2), А4(-5; 5; 4).
1) Находим длину ребра А1А2.
L(A1A2) = √((-1-5)² + (-2-4)² + (-2-1)²) = √((-6)² + (-6)² + (-3)²) =
= √(36 + 36 + 9) = √81 = 9.
Отсюда определился направляющий вектор А1А2 = (-6); (-6); (-3)).
По этому вектору и точке А1(5; 4; 1) составляем уравнение прямой А1А2.
А1А2: (x – 5)/(-6) = (y – 4)/(-6) = (z – 1)/(-3).
2) Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB – yA zB - zA
xC – xA yC – yA zC – zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 5 y – 4 z - 1
-1 – 5 -2 – 4 -2 - 1
3 – 5 -2 – 4 2 – 1 = 0
x – 5 y – 4 z - 1
-6 -6 -3
-2 -6 1 = 0
(x – 5)(-6·1-(-3)·(-6)) - (y – 4)((-6)·1-(-3)·(-2)) + (z – 1)((-6)·(-6)-(-6)·(-2)) = 0
(-24)(x – 5) + 12(y – 4) + 24(z – 1) = 0
- 24x + 12y + 24z + 48 = 0
2x - y - 2z - 4 = 0.
Площадь S грани А1А2А3 находим как половину векторного произведения векторов А1А2 и А1А3.
А1А2 = (-6); (-6); (-3)).
А1А3 = А3(3; -2; 2) - А1(5; 4; 1) = (-2; -6; 1).
Находим векторное произведение А1А2х А1А3 с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
-6 -6 -3| -6 -6
-2 -6 1| -2 -6 = -6i + 6j + 36k + 6j – 18i – 12k =
= -24i + 12j + 24k.
S(A1A2A3) = (1/2)*√((-24)² + 12² + 24²) = (1/2)*√(576 + 144 + 576) =
= (1/2)√1296 = 18.
3) Высота Н – это перпендикуляр к плоскости А1А2А3, нормальный вектор (-24; 12; 24) которой является направляющим вектором высоты Н.
По этому вектору и точке А4(-5; 5; 4) находим уравнение прямой, включающей высоту Н.
(x + 5)/(-24) = (y – 5)/12 = (z – 4)/24.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|
√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |2·(-5) + (-1)·5 + (-2)·4 + (-4)|
√(2² + (-1)² + (-2)²)
= |-10 - 5 - 8 - 4|
√(4 + 1 + 4)
= 27
√9
= 9.
4) Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов А1А2, А1А3, А1А4.
А1А2 = (-6; -6; -3).
А1А3 = (-2; -6; 1).
Находим А1А4
А1А4 = А4(-5; 5; 4) - А1(5; 4; 1) = (-10; 1; 3).
-6 -6 -3| -6 -6
-2 -6 1| -2 -6
-10 1 3| -10 1 = 108 + 60 + 6 – 36 + 6 + 180 = 324.
V = (1/6)*324 = 54 куб. ед.
Векторы А1А2 = (-6; -6; -3),
модуль равен √((-6)² + (-6)² + (-3)²)
5) Векторы А1А2 = (-6; -6; -3), модуль равен 9 (по п. 1).
Векторы А1А4 = (-10; 1; 3),
модуль равен √((-10)² + 1² + 3²) = √(100 + 1 + 9) = √110.
Находим косинус угла между векторами:
cos(A1A2_A1A4) = (-6*(-10) + (-6)*1 + (-3)*3/(9*√110) =
= (60 – 6 – 9)/( 9√110) =
= 45/( 9√110) = 5√110/110 = √110/22 = 0,476731295.
Угол равен: α = arccos(0,476731295) = 1,073863836 радиан или
61,52786558 градуса.
6) По направляющему вектору А1А4 = (-10; 1; 3) и точке А1(5; 4; 1) составляем уравнение прямой А1А4.
(x – 5)/(-10) = (y – 4)/1 = (z – 1)/3.
Уравнение плоскости А1А2А3: 2x - y - 2z - 4 = 0.
Направляющий вектор прямой имеет вид: s = (-10; 1; 3)
Вектор нормали плоскости имеет вид: q = (2; -1; -2)
Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q |
| s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |
√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =
= | 2 · (-10) + (-1) · 1 + (-2) · 3 |
√(2² + (-1) ² + (-2)²) ·√((-10)² + 1² + 3²) =
= | -20 - 1 - 6 |
√(4 + 1 + 4) ·√(100 + 1 + 9) =
= 27
√9 · √110
= 27
√ 990 =
= (9/110) ·√110 ≈ 0.8581163.
φ = arcsin((9/110) ·√110) = 59.1057379°.