A(-2;1;4), B(-1;3;3), C(1; -3;5), D(-3;5;-7) знайти кут між ребрами АВ і СD
Ответы
Ответ:
Для знаходження кута між ребрами \(AB\) і \(CD\) у просторі використовується косинусний закон.
Косинус кута \(θ\) між двома векторами \( \vec{u} \) та \( \vec{v} \) визначається як:
\[ \cos(θ) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|} \]
Де \( \cdot \) - це скалярний добуток векторів, а \( \|\vec{u}\| \) - довжина вектору \( \vec{u} \).
Вектор \(AB\) можна знайти, віднімаючи координати точки \(A\) від координат точки \(B\):
\[ \vec{AB} = \langle -1 - (-2), 3 - 1, 3 - 4 \rangle = \langle 1, 2, -1 \rangle \]
Аналогічно для вектора \(CD\):
\[ \vec{CD} = \langle -3 - 1, 5 - (-3), -7 - 5 \rangle = \langle -4, 8, -12 \rangle \]
Тепер знайдемо косинус кута між цими векторами:
\[ \cos(θ) = \frac{\langle 1, 2, -1 \rangle \cdot \langle -4, 8, -12 \rangle}{\|\langle 1, 2, -1 \rangle\| \cdot \|\langle -4, 8, -12 \rangle\|} \]
Знайдемо чисельник та знаменник, підставимо їх у формулу та знайдемо кут:
\[ \cos(θ) = \frac{-4 + 16 + 12}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-12)^2}} \]
\[ \cos(θ) = \frac{24}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{224}} \]
\[ θ = \cos^{-1}\left(\frac{24}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{224}}\right) \]
Отже, кут між ребрами \(AB\) і \(CD\) дорівнює \(θ\), який можна знайти використовуючи обернений косинус (\(\cos^{-1}\)).