Срочно треба вирішити систему рівнянь!!!!!
Ответы
Відповідь:
X = √( 1/2 ), або X = 1/√2
Y = √( 1/3 ), або Y = 1/√3
Z = √( 1/6 ), або Z = 1/√6
Покрокове пояснення:
Маємо систему з трьох рівняннь:
Y/Z + Z/Y = 3X ( 1 )
Z/X + X/Z = 4Y ( 2 )
Y/X + X/Y = 5Z ( 3 )
Приведемо рівняння ( 1 ), ( 2 ) та ( 3 ) до спільного знаменника:
( 1 ) Y/Z + Z/Y = 3X
Y² + Z² = 3XYZ
( 2 ) Z/X + X/Z = 4Y
Z² + X² = 4XYZ
( 3 ) Y/X + X/Y = 5Z
Y² + X² = 5XYZ
Ми отримали нову систему з трьох рівняннь:
Y² + Z² = 3XYZ ( 4 )
Z² + X² = 4XYZ ( 5 )
Y² + X² = 5XYZ ( 6 )
Виразимо X² з рівняння ( 5 ):
X² = 4XYZ - Z²
Виразимо X² з рівняння ( 6 ):
X² = 5XYZ - Y²
Отримаємо:
4XYZ - Z² = 5XYZ - Y²
Y² - Z² = 5XYZ - 4XYZ
Y² - Z² = XYZ ( 7 )
Додамо рівняння ( 4 ) до рівняння ( 7 ):
Y² + Z² = 3XYZ
+
Y² - Z² = XYZ
---------------------
2Y² = 4XYZ
Y² = 2XYZ
Віднімемо рівняння ( 4 ) від рівняння ( 7 ):
Y² + Z² = 3XYZ
-
Y² - Z² = XYZ
---------------------
2Z² = 2XYZ
Z² = XYZ
Підставимо Y² = 2XYZ до рівняння ( 6 ):
2XYZ + X² = 5XYZ
X² = 5XYZ - 2XYZ
X² = 3XYZ
Ми отримали нову систему з трьох рівняннь:
X² = 3XYZ ( 8 )
Y² = 2XYZ ( 9 )
Z² = XYZ ( 10 )
Розділимо рівняння ( 8 ) на X, рівняння ( 9 ) на Y та рівняння ( 10 ) на Z:
( 8 ) X = 3YZ
( 9 ) Y = 2XZ
( 10 ) Z = XY
Підставимо рівняння ( 8 ) та ( 9 ) до рівняння ( 10 ):
Z = XY = 3YZ × 2XZ
Z = 6XYZ²
Розділимо останне рівняння на Z:
6XYZ = 1
XYZ = 1/6
Підставимо XYZ = 1/6 до рівняннь ( 8 ), ( 9 ) та ( 10 ):
X² = 3XYZ = 3 × 1/6 = 1/2
Y² = 2XYZ = 2 × 1/6 = 1/3
Z² = YZ = 1/6
Отримаємо розв'язок системи рівняннь:
X = √( 1/2 )
Y = √( 1/3 )
Z = √( 1/6 )
Перевірка:
Маємо систему з трьох рівняннь:
Y/Z + Z/Y = 3X ( 1 )
Z/X + X/Z = 4Y ( 2 )
Y/X + X/Y = 5Z ( 3 )
Підставимо X = √( 1/2 ), Y = √( 1/3 ) та Z = √( 1/6 ) до рівняннь ( 1 ), ( 2 ) та ( 3 ):
( 1 рівняння )
√(( 1/3 )/( 1/6 )) + √(( 1/6 )/( 1/3 )) = 3√( 1/2 )
√( 6/3 ) + √( 3/6 ) = 3√( 1/2 )
√( 2 ) + √( 1/2 ) = 3√( 1/2 )
( √( 2 ) + √( 1/2 ) )² = ( 3√( 1/2 ) )²
( √( 2 ) )² + 2√( 2 × ( 1/2 ) ) + ( √( 1/2 ) )² = 9/2
2 + 2 + 1/2 = 9/2
4 1/2 = 4 1/2
( 2 рівняння )
√(( 1/6 )/( 1/2 )) + √(( 1/2 )/( 1/6 )) = 4√( 1/3 )
√( 2/6 ) + √( 6/2 ) = 4√( 1/3 )
√( 1/3 ) + √( 3 ) = 4√( 1/3 )
( √( 1/3 ) + √( 3 ) )² = ( 4√( 1/3 ) )²
( √( 1/3 ) ) ² + 2√( ( 1/3 ) × 3 ) + √( 3 ) )² = 16/3
1/3 + 2 + 3 = 16/3
5 1/3 = 5 1/3
( 3 рівняння )
√(( 1/3 )/( 1/2 )) + √(( 1/2 )/( 1/3 )) = 5√( 1/6 )
√( 2/3 ) + √( 3/2 ) = 5√( 1/6 )
√( 2/3 ) + √( 3/2 ) = 5√( 1/6 )
( √( 2/3 ) + √( 3/2 ) )² = ( 5√( 1/6 ) )²
( √( 2/3 ) ) ² + 2√( ( 2/3 ) × ( 3/2 ) ) + √( 3/2 ) )² = 25/6
2/3 + 2 + 3/2 = 25/6
4/6 + 2 + 9/6 = 25/6
4 1/6 = 4 1/6
Все вірно!!!