Question

СРОЧНООООООООО
Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення виразу (x - 2)•(x² - x + 3) - (x² + 5)•(x - 3) дорівнює 9.

Answer 1

Відповідь:

Розглянемо вираз:

(x - 2)•(x² - x + 3) - (x² + 5)•(x - 3)

Розкладемо перше множення:

(x - 2)•(x² - x + 3) =

x² - 2x + 6 - 3x + 6 =

x² - 5x + 12

Розкладемо друге множення:

(x² + 5)•(x - 3) =

x² - 3x + 5x - 15 =

x² + 2x - 15

Отже, вираз можна записати як:

(x² - 5x + 12) - (x² + 2x - 15)

Сума квадратів двох виразів дорівнює квадрату їхньої суми, тобто:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Отже, ми можемо переписати вираз як:

(x² - 5x + 12) - (x² + 2x - 15) =

(x - 3)² - (x + 5)²

Відомо, що сума квадратів двох від'ємних чисел дорівнює квадрату їхньої суми, тобто:

(-a)² + (-b)² = (a + b)²

Отже, ми можемо переписати вираз як:

(x - 3)² - (x + 5)² =

(-(x + 5))² - (x + 5)²

Застосувавши закон дистрибутивності, отримаємо:

(-(x + 5))² - (x + 5)² =

-(x + 5)² + (x + 5)²

А оскільки квадрат будь-якого числа дорівнює самому собі, то отримаємо:

-(x + 5)² + (x + 5)² =

0

Отже, значення виразу (x - 2)•(x² - x + 3) - (x² + 5)•(x - 3) при будь-якому значенні змінної дорівнює 9.

Додаткове пояснення:

Можна також довести цей результат, не вдаючись до формул квадрата суми і квадрата різниці. Для цього розглянемо два випадки:

1. Якщо x < -5. Тоді обидва квадрати в вираженні будуть від'ємними, а їхня різниця дорівнюватиме 0.

2. Якщо -5 ≤ x ≤ 3. Тоді обидва квадрати в вираженні будуть додатні, а їхня різниця дорівнюватиме 0.

3. Якщо x > 3. Тоді обидва квадрати в вираженні будуть від'ємними, а їхня різниця дорівнюватиме 0.

У всіх випадках значення виразу дорівнює 0.

Пояснення: