Помогите пожалуйста, решите сколько сможете с решением
1) f(x)=x²+5х-9. Напишите уравнение касательной, которая параллельна прямой у=3х+8
Ответ дайте в виде y=kx+b.
Задание №2
f(x)=2cos² (2х). Найти f(x) и вычислить f(x), если cos (2х)=8/17.
Задание №3
f(x)=x3+4х²-4х+9.
Напишите уравнение нормали к графику функции в точке (-1;16). Ответ дайте в виде аx+by+c=0, где a>0.
Задание №4
f(x)=(x-6)4
Найти f'(х) и вычислить f (2).
Задание №5
Найдите стационарные (критические) точки функции f(x)=2x²+12х-7
Ответ дайте в виде числа.
Ответы
Ответ:
Давайте рассмотрим каждое задание по порядку.
**Задание №1:** Уравнение касательной, параллельной прямой \(y = 3x + 8\), будет иметь тот же угловой коэффициент \(k = 3\) для параллельности. Исходная функция \(f(x) = x^2 + 5x - 9\). Угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом перед \(x\) в производной функции \(f(x)\). Найдем производную функции \(f(x)\), чтобы определить этот коэффициент:
\[ f'(x) = 2x + 5 \]
Поскольку касательная параллельна прямой \(y = 3x + 8\), коэффициент перед \(x\) должен быть равен 3. Уравнение касательной будет иметь вид \(y = 3x + b\). Чтобы найти \(b\), подставим точку касания в уравнение:
\[ f'(-1) = 2(-1) + 5 = 3 \]
\[ f(-1) = (-1)^2 + 5(-1) - 9 = -5 \]
Теперь используем найденные значения, чтобы найти \(b\):
\[ -5 = 3 \cdot (-1) + b \]
\[ b = -2 \]
Таким образом, уравнение касательной будет \(y = 3x - 2\).
**Задание №2:** Исходная функция \(f(x) = 2\cos^2(2x)\). Если \(\cos(2x) = \frac{8}{17}\), то значение \(f(x)\) равно:
\[ f(x) = 2 \cdot \left(\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{256}{289} \]
**Задание №3:** Функция \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 4x + 9\). Чтобы найти уравнение нормали в точке \((-1, 16)\), сначала найдем производную функции \(f(x)\):
\[ f'(x) = 3x^2 + 8x - 4 \]
\[ f'(-1) = 3(-1)^2 + 8(-1) - 4 = 5 \]
Теперь, используя угловой коэффициент \(a = -\frac{1}{f'(-1)}\) и точку \((-1, 16)\), найдем уравнение нормали:
\[ a = -\frac{1}{5} \]
\[ b = y - ax = 16 + \frac{1}{5} \cdot (-1) = \frac{79}{5} \]
\[ 5y = x + 79 \]
\[ x - 5y + 79 = 0 \]
Ответ: \(x - 5y + 79 = 0\).
**Задание №4:** Функция \(f(x) = (x - 6)^4\). Найдем производную функции \(f(x)\):
\[ f'(x) = 4(x - 6)^3 \]
Чтобы вычислить \(f(2)\), подставим \(x = 2\) в исходную функцию:
\[ f(2) = (2 - 6)^4 = (-4)^4 = 256 \]
**Задание №5:** Функция \(f(x) = 2x^2 + 12x - 7\). Чтобы найти стационарные точки, найдем производную и приравняем ее к нулю:
\[ f'(x) = 4x + 12 = 0 \]
\[ x = -3 \]
Ответ: Стационарная точка функции \(f(x)\) равна \(-3\).