Question

ДОПОМОЖІТЬ ЗАРАЗ!
У правильній чотирикутний піраміді бічне ребро утворює зі стороною основи кут β. Відрізок, що сполучає центр вписаного в бічну грань кола з вершиною основи цієї грані, дорівнює l. Визначити бічну поверхню піраміди.

Answer 1

Ответ:

У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро можна розглядати як відомий радіус кола, вписаного в бічну грань. Позначимо довжину сторони основи піраміди через \( a \) і висоту бічної грані через \( h \).

Кут \( \beta \) є кутом між бічним ребром і стороною основи. Таким чином, можна записати, що \(\tan(\beta) = \frac{h}{\frac{a}{2}}\).

З цього виразу можна виразити висоту бічної грані: \( h = \frac{a}{2} \tan(\beta) \).

За теоремою Піфагора для трикутника, утвореного бічним ребром, половиною основи та висотою, отримуємо: \( l^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \).

Підставимо вираз для \( h \): \( l^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} \tan(\beta)\right)^2 \).

Розв'яжемо це рівняння відносно \( a \) і знайдемо довжину сторони основи. Після цього можна визначити бічну поверхню піраміди за формулою \( S = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l \).