15 и 16 номера Решить дробно-рациональным способом, подробно, пожалуйста
Ответы
Ответ: №15. х=-1 и х=5.
№16. х= -1.
Объяснение: см.решение в файле ниже.
Для решения дробно-рациональных уравнений, нужно сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) переменной, то есть те значения, при которых знаменатели дробей не равны нулю. Затем нужно привести левую и правую части уравнения к общему знаменателю и сократить его. После этого нужно решить полученное уравнение относительно переменной и проверить, что найденные корни принадлежат ОДЗ.
15) (x - 49) / (x + 6) + (2x + 50) / (x + 5) = 2
ОДЗ: x ≠ -6, x ≠ -5
Общий знаменатель: (x + 6)(x + 5)
(x - 49)(x + 5) + (2x + 50)(x + 6) = 2(x + 6)(x + 5)
x^2 - 44x - 245 + 2x^2 + 112x + 300 = 2x^2 + 22x + 60
x^2 + 46x + 485 = 0
D = 46^2 - 4 * 485 = 2116 - 1940 = 176
x1 = (-46 + √176) / 2 ≈ -18.68
x2 = (-46 - √176) / 2 ≈ -26.32
Проверка: x1 и x2 принадлежат ОДЗ, поэтому являются решениями уравнения.
Ответ: x ≈ -18.68; x ≈ -26.32
16) ((x + 2)^2 - 9) / (x - 5) = -24 / (x - 1)
ОДЗ: x ≠ 5, x ≠ 1
Общий знаменатель: (x - 5)(x - 1)
((x + 2)^2 - 9)(x - 1) = -24(x - 5)
(x^2 + 4x - 5)(x - 1) = -24x + 120
x^3 + 3x^2 - 10x + 5 = -24x + 120
x^3 + 3x^2 + 14x - 115 = 0
По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна -3, поэтому один из корней равен -3.
x^3 + 3x^2 + 14x - 115 = (x + 3)(x^2 + ax + b)
Подставим x = -3 и получим:
(-3)^3 + 3(-3)^2 + 14(-3) - 115 = (-3 + 3)(-3^2 + a(-3) + b)
-27 + 27 - 42 - 115 = -9a + 3b
-157 = -9a + 3b
Решим систему уравнений:
a + b = -3
-9a + 3b = -157
Получим:
a = -14
b = 11
Тогда уравнение примет вид:
x^3 + 3x^2 + 14x - 115 = (x + 3)(x^2 - 14x + 11)
x^3 + 3x^2 + 14x - 115 = (x + 3)(x - 11)(x - 1)
x1 = -3
x2 = 11
x3 = 1
Проверка: x1 и x2 принадлежат ОДЗ, а x3 нет, поэтому являются решениями уравнения только x1 и x2.
Ответ: x = -3; x = 11