Question

3) sin⁴x + cos⁴x - 5/8 = 0
​

Answer 1

Ответ:

$\pm\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Решение:

$\sin^4x + \cos^4x -\dfrac{5}{8} = 0$

В левой части уравнения удобно преобразовать сумму так, чтобы она содержала сумму квадратов синуса и косинуса. Тогда, такое выражение легко упростится в силу основного тригонометрического тождества.

Прибавим и вычтем в левой части уравнения выражение  $2\sin^2x\cos^2x$:

$\sin^4x + \cos^4x+2\sin^2x\cos^2x-2\sin^2x\cos^2x -\dfrac{5}{8} = 0$

Тогда, первые три слагаемых представляют собой квадрат суммы:

$(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x -\dfrac{5}{8} = 0$

Пользуясь основным тригонометрическим тождество, получим:

$1^2-2\sin^2x\cos^2x -\dfrac{5}{8} = 0$

$2\sin^2x\cos^2x=1-\dfrac{5}{8}$

$2\sin^2x\cos^2x=\dfrac{3}{8}$

Теперь обе части уравнения удобно умножить на 2:

$4\sin^2x\cos^2x=\dfrac{3}{4}$

Тогда в левой части уравнения получим полный квадрат:

$(2\sin x\cos x)^2=\dfrac{3}{4}$

Выражение под знаком квадрата соответствует синусу двойного угла:

$\sin ^22x=\dfrac{3}{4}$

Уравнение равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l} \sin 2x=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\ \sin 2x=-\dfrac{\sqrt{3} }{2}\end{array}\right.$

Решаем два получившихся уравнения:

$\left[\begin{array}{l} 2x=\dfrac{\pi }{3}+2\pi k;\ 2x=\dfrac{2\pi }{3}+2\pi k \\\\ 2x=-\dfrac{\pi }{3}+2\pi k;\ 2x=-\dfrac{2\pi }{3}+2\pi k\end{array}\right.,\ k\in\mathbb{Z}$

Записанные серии корней можно записать проще, если принять во внимание два равенства:

$-\dfrac{\pi }{3} +\pi=\dfrac{2\pi }{3} ;\ -\dfrac{2\pi }{3} +\pi=\dfrac{\pi }{3}$

Тогда, две серии корней $2x=\dfrac{\pi }{3}+2\pi k$ и $2x=-\dfrac{2\pi }{3}+2\pi k$ можно записать в виде $2x=\dfrac{\pi }{3}+\pi n$, а две серии корней $2x=-\dfrac{\pi }{3}+2\pi k$ и $2x=\dfrac{2\pi }{3}+2\pi k$ можно записать в виде $2x=-\dfrac{\pi }{3}+\pi n$. А уже две полученные серии можно записать в виде:

$2x=\pm\dfrac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Тогда:

$\boxed{x=\pm\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$