Question

Помогите пожалуйста решить задачу 12 , общее решение ​

Answer 1

Ответ:

$y=C_1\cos x+C_2\sin x+\dfrac{3}{2}e^x.$

Объяснение:

    $y''+y=3e^x;\ (y''-\frac{3}{2}e^x)+(y-\frac{3}{2}e^x)=0;\ (y-\frac{3}{2}e^x)''+(y-\frac{3}{2}e^x)=0;$

   $y-\frac{3}{2}e^x=p;\ p''+p=0;\ p_1=\cos x;\ p_2=\sin x;\ p=C_1\cos x+C_2\sin x;$

                                   $y=C_1\cos x+C_2\sin x+\dfrac{3}{2}e^x.$

Если такой простой способ вызывает сомнения, можно работать по стандартной схеме.

Сначала решаем однородное уравнение  $y''+y=0$

с помощью характеристического уравнения:  $\lambda^2+1=0;\ \lambda=\pm i=0\pm 1i;\ y_1=e^{0x}\cos 1x=\cos x;\ y_2=e^{0x}\sin 1x=\sin x;$

                     $y_{oo}=C_1y_1+C_2y_2=C_1\cos x+C_2\sin x.$  

Далее ищем частное решение неоднородного уравнения в виде

                             $\tilde y=Ae^x;\ \tilde y'=Ae^x;\ \tilde y''=Ae^x;$

подставляя в уравнение, получаем

                      $Ae^x+Ae^x=3e^x;\ 2A=3;\ A=\dfrac{3}{2};\ \tilde y=\dfrac{3}{2}e^x,$

а тогда общее решение уравнения имеет вид

                         $y=y_{oo}+\tilde y=C_1\cos x+C_2\sin x+\dfrac{3}{2}e^x.$