Question

Z=4x^(2)+y^(2)+5xy-28 знайти першу та другу частину похідної функції

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=8x+5y;$      $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2y+5x;$

$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=8;\;\;\;\;\;\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=2;$     $\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=5;$        $\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}=5$.

Объяснение:

Найти частные производный первого и второго порядка:

z = 4x² + y² +5xy - 28

Сначала найдем частные производные первого порядка.

    $\boxed {\displaystyle \bf z'_x=\frac{\partial z}{\partial x};\;\;\;\;\;z'_y=\frac{\partial z}{\partial y} }$

Для нахождения $z'_x$  считаем у - постоянной.

Используем табличные производные:

    $\boxed {\displaystyle\bf (x^n)'=nx^{n-1};\;\;\;\;\; C'=0;\;\;\;\;\;(Cu)'=Cu'}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=4 \cdot (x^2)'+5y(x)'=8x+5y$

Для нахождения $z'_y$  считаем x - постоянной.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=(y^2)'+5x(y)'=2y+5x$

Найдем частные производные первого порядка.

    $\boxed {\displaystyle \bf z''_{xx}=\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2};\;\;\;\;\;z''_{yy}=\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} ;\;\;\;\;\;z''_{xy}=\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y} ;\;\;\;\;\;z''_{yx}=\frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x} }$

$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}=(z'_x)'=8 \\\\\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=(z'_y)'=2$

Для нахождения $z''_{xy}$   дифференцируем $z'_x$ по у, то есть, считаем постоянной х:      

$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=5$                

Для нахождения $z''_{yx}$   дифференцируем $z'_y$ по x, то есть, считаем постоянной y:  

$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}=5$

#SPJ1