Question

Докажите, что (7^x)-1 делится на 6 при всех натуральных значениях x

Answer 1

Ответ:

в объяснении

Пошаговое объяснение:

Применим метод математической индукции.

1) для  n=1, х₁ = 7¹-1 = 6 делится на 6 без остатка. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Положим, что при  n=k    $\displaystyle 7^k-1$       делится на 6 без остатка.

3) Посмотрим, что же будет  для n=k+1.

$\displaystyle x_{k+1}=7^{k+1}-1=7*7^k+ \overbrace{(-7+6)}^{=-1}=7(7^k-1)+6$

по предположению  $\displaystyle (7^k-1)$ кратно 6. Тогда первое слагаемое полученной суммы   $\displaystyle x_{k+1}=7(7^k-1)+6$     кратно  6.

Второе слагаемое - это собственно число 6 - оно кратно 6.

Если оба слагаемых кратны 6, то и сумма делится на 6 без остатка.

Таким образом,  (7ⁿ - 1) кратно 6 при любом натуральном n.

В силу метода математической индукции утверждение доказано.