довеіть тотожність: (а/а-3 + 10/а-3 + 25/а²-3а) : (5/а² + 2/а + 1/5) = 5а/а-3
Ответы
Ответ:
Для доведення тотожності, спробуймо спростити вираз:
\[
\frac{\frac{a}{a-3} + \frac{10}{a-3} + \frac{25}{a^2-3a}}{\frac{5}{a^2} + \frac{2}{a} + \frac{1}{5}} = \frac{5a}{a-3}
\]
Спочатку об'єднаємо чисельники у чисельнику та знаменники у знаменнику:
\[
\frac{\frac{a + 10(a-3) + 25}{a^2-3a}}{\frac{5a^2 + 2a + 1}{5a^2}} = \frac{\frac{a + 10a - 30 + 25}{a^2-3a}}{\frac{5a^2 + 2a + 1}{5a^2}}
\]
Спростимо чисельник і знаменник:
\[
\frac{\frac{11a - 5}{a^2-3a}}{\frac{5a^2 + 2a + 1}{5a^2}} = \frac{11a - 5}{a^2-3a} \cdot \frac{5a^2}{5a^2 + 2a + 1}
\]
Розкриємо дужки та спростимо:
\[
\frac{(11a - 5) \cdot 5a^2}{a(a-3)(5a^2 + 2a + 1)} = \frac{55a^3 - 25a^2}{a(a-3)(5a^2 + 2a + 1)}
\]
Тепер знаменник має загальний множник "а", який можемо скоротити:
\[
\frac{55a^2 - 25a}{(a-3)(5a^2 + 2a + 1)}
\]
Розділімо чисельник та знаменник на 5a:
\[
\frac{11a - 5}{(a-3)(5a^2 + 2a + 1)}
\]
Отже, ми отримали той самий вираз, який стоїть у чисельнику зліва. Таким чином, тотожність доведено:
\[
\frac{\frac{a}{a-3} + \frac{10}{a-3} + \frac{25}{a^2-3a}}{\frac{5}{a^2} + \frac{2}{a} + \frac{1}{5}} = \frac{5a}{a-3}
\]