Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках А(-1; -2), B(-8; 4), C(1; 6), D(8; 0) — ромб.
Ответы
Ответ:
Для доведення того, що чотирикутник ABCD є ромбом, ми можемо використовувати властивості ромба:
1. **Рівність сторін:**
- Довжина сторони AB: \(\sqrt{(-8 - (-1))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}\)
- Довжина сторони BC: \(\sqrt{(1 - (-8))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}\)
- Довжина сторони CD: \(\sqrt{(8 - 1)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}\)
- Довжина сторони DA: \(\sqrt{(-1 - 8)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}\)
Отже, усі чотири сторони рівні між собою.
2. **Діагоналі рівні між собою та перпендикулярні:**
- Діагональ AC: \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \langle 1 - (-1), 6 - (-2) \rangle = \langle 2, 8 \rangle\)
- Діагональ BD: \(\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \langle 8 - (-8), 0 - 4 \rangle = \langle 16, -4 \rangle\)
- Перевірка перпендикулярності: \(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 2 \cdot 16 + 8 \cdot (-4) = 0\)
- Перевірка рівності довжин: \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}| = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}\)
Отже, діагоналі рівні між собою та перпендикулярні.
Отже, враховуючи усі вищезазначені властивості, можна вважати, що ABCD є ромбом.
Объяснение:.....