Question

Знайти похідні функцій.

Answer 1

Ответ:

Найти производные функций . Применяем правила дифференцирования и таблицу производных .

$\displaystyle \bf 1)\ \ y=\frac{x+2}{x^2+4x+6}+\frac{1}{\sqrt2}\cdpt arctg\frac{x+2}{\sqrt2}\\\\\\y'=\frac{x^2+4x+6-(x+2)(2x+4)}{(x^2+4x+6)^2}+\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{1}{1+\dfrac{(x+2)^2}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt2}=\\\\\\=\frac{x^2+4x+6-2x^2-8x-8}{(x^2+4x+6)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2+(x+2)^2}=\\\\\\=\frac{-x^2-4x-2}{(x^2+4x+6)^2}+\frac{1}{x^2+4x+6}=\frac{-x^2-4x-2+x^2+4x+6}{(x^2+4x+6)^2}=\\\\\\=\frac{4}{(x^2+4x+6)^2}$          

$\bf \displaystyle \bf 2)\ \ y=x\, (2x^2+1)\sqrt{x^2+1}-ln(x+\sqrt{x^2+1})\\\\y=(2x^3+x)\sqrt{x^2+1}-ln(x+\sqrt{x^2+1})\\\\y'=(6x^2+1)\sqrt{x^2+1}+(2x^3+x)\cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \Big(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\Big)=\\\\=(6x^2+1)\sqrt{x^2+1}+\dfrac{x^2\, (2x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}=\\\\\\=\dfrac{(6x^2+1)(x^2+1)+x^2\, (2x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=$

$\bf \displaystyle =\frac{6x^4+7x^2+1+2x^4+x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{8x^4+8x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2\, (2x^2+1)^2}{\sqrt{x^2+1}}$  

3)  Логарифмическое дифференцирование .

$\bf \displaystyle y=(x-5)^{arctgx}\\\\lny=arctgx\cdot ln(x-5)\\\\\frac{y'}{y}=\frac{1}{1+x^2}\cdot ln(x-5)+\frac{1}{x-5}\cdot arctgx\\\\y'=y\cdot \Big(\frac{1}{1+x^2}\cdot ln(x-5)+\frac{1}{x-5}\cdot arctgx\Big)\\\\y'=(x-5)^{arctgx}\cdot \Big(\ \frac{ln(x-5)}{1+x^2}+\frac{arctgx}{x-5}\ \Big)$