Question

помогите пожалуйста решить​

Answer 1

Ответ:

 $\left[-\dfrac{1}{2};1\right]$

Объяснение:

Заметим, что $4x^2+2x+1=(2x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} > 0$ при всех x (вместо выделения полного квадрата можно было посчитать дискриминант и убедиться, что он меньше нуля). Поэтому неравенство можно прологарифмировать по основанию, большему 1, получая равносильное неравенство:

           $(4x^2+2x+1)^{x^2-x}\le 1\Leftrightarrow \log_2(4x^2+2x+1)^{x^2-x}\le \log_2 1 \Leftrightarrow$

                            $\Leftrightarrow (x^2-x)\log_2(4x^2+2x+1)\le 0.$

Применим метод рационализации: поскольку

                      $\log_2 u > 0$ при u>1 и  $\log_2 u < 0$ при 0<u<1,

                знак $\log_2 u$ совпадает при u>0 со знаком (u-1).  

Поэтому наше неравенство равносильно неравенству

  $(x^2-x)(4x^2+2x+1-1)\le 0\Leftrightarrow 2x^2(x-1)(2x+1)\le 0.$

Решая методом интервалов, получаем ответ $x\in [-\frac{1}{2};1].$