Question

Помогите пожалуйста решить задачу, 11 класс​

Answer 1

Ответ:

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n ~ , ~ n \in \mathbb Z$

Объяснение:

Решите уравнение

$\displaystyle 4^{\cos x}\cdot 4 ^{\cos ^ 2x }\cdot \ldots = 4 \\\\ 4^{\cos x + \cos ^2 x + \ldots } = 4^1 \\\\ \cos x + \cos ^2 x + \ldots = 1$

По определению
$|\cos x| \leqslant 1$

Но так как данное выражение равно определенному числу (не бесконечно большому), то  $|\cos x| < 1$

Значит $\cos x + \cos ^2 x + \ldots$  —  сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии  ⇒
b₁ = cosx
q = cosx

$\cos x + \cos ^2 x + \ldots = \dfrac{\cos x}{1 - \cos x} = 1 \\\\ \cos x = 1 - \cos x \\\\ \cos x = \dfrac{1}{2}$

$x = \pm \arccos \dfrac{1}{2} + 2\pi n \\\\ x = \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n ~ , ~ n \in \mathbb Z$