Question

Доказать, что при всех реальных значениях х верно неравенство x^2/1+x^4<=1/2
И объясните пожалуйста как это решать

Answer 1

Ответ:

преобразуем выражение и сравним с нулем

$\frac{ {x}^{2} }{1 + {x}^{4} } \leqslant \frac{1}{2} \\ \frac{ 2{x}^{2} - 1 - {x}^{4} }{1 + {x}^{4} } \leqslant 0$

чтобы отношение было мерьше или равно нуля, необходимо:

1. чтобы числитель был равен или больше нуля и знаменатель меньше нуля

или

2. чтобы числитель был равен или меньше нуля и

знаменатель больше нуля.

важно, что знаменатель не равен нулю!!!

ращберем отдельно знаменатель

$1 + {x}^{4} > 0$

всегда и всегда больше нуля, следовательно достаточно чтобы числитель был меньше или равен нуля

$2 {x}^{2} - 1 - {x}^{4} \leqslant 0 \\ {x}^{4} - 2 {x}^{2} + 1 \geqslant 0$

для решения уравнения 4 степень заменим

${x}^{2} = y \geqslant 0$

следовательно

${y}^{2} - 2y + 1 \geqslant 0 \\ {(y - 1)}^{2} \geqslant 0$

следовательно;значение в скобках всегда больше или равно нуля.

а значит и х всегда или больше равно нуля.

что и требовалось доказать