Question

Через сторону основания и точку, принадлежащую высоте правильной четырёхугольной пирамиды и делящей её в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды, проведено сечение пирамиды плоскостью. Найдите площадь сечения. Если высота пирамиды равна $\sqrt{x} \sqrt{x}7$ , а площадь диагонального сечения равна $3\sqrt{14}$. Помогите решить, пожалуйста

Answer 1

Правильная четырехугольная пирамида

- в основании квадрат

- вершина падает в центр основания

т.е. в точку O пересечения диагоналей квадрата

Треугольник APC - равнобедренный, высота PO является медианой.

Точка G делит медиану 2:1, следовательно является точкой пересечения медиан APC.

AF - медиана, F - середина PC.

Аналогично E - середина PB.

AEFD - искомое сечение.

Пусть PO=H, S(APC)=S

AD=a, AC=a√2

S(APC) =1/2 AC*PO => a =√2 S/H

EF - средняя линия BPC, EF||BC||AD, EF=a/2

Грани пирамиды равны, медианы AE и DF равны.

AEFD -р/б трапеция.

Проведем высоту трапеции KM через точку G.

Из подобия треугольников MG/GK =AG/GF =2/1 => KM=3/2 GM

OM=a/2, GO=H/3

GM =√(OM^2 +GO^2)

=√(a^2/4 +H^2/9) =√(9a^2 +4H^2)/6 =√(9*2 S^2/H^2 +4H^2)/6

S(AEFD) =1/2 (AD+EF) KM

=1/2 *3/2 *a 3/2 *GM =9/8 *√2 S/H *√2/6 *H √(9S^2/H^4 +2)

$=\frac{3}{8} S \sqrt{\frac{9S^2}{H^4}+2}$

Если H=$\sqrt[4]{7}$, S=3√14

S(AEFD) =3/8 *3√14 √(9*9*14/7 +2) =9/4 *√574