164. а) На сторонах СА и СВ равностороннего треугольника ABC отложены отрезки СМ и CN, сумма длин которых равна стороне треугольника. Найдите угол MON,где О-точка пересечения медиан треугольника.
б) через центр равностороннего треугольника проведены две прямые угол между которыми равен 60°, которые не содержит вершин треугольника Докажите что отрезки этих прямых заключённые между сторонами треугольника равны
Ответы
Ответ:
а) Для решения задачи, нам необходимо использовать свойства равностороннего треугольника и медиан.
Так как треугольник ABC является равносторонним, все его стороны и углы равны.
Обозначим точку пересечения медиан треугольника как O. Поскольку треугольник ABC равносторонний, точка O будет находиться на пересечении медиан внутри треугольника.
Пусть М будет серединой стороны AB, а P - серединой стороны AC.
Из условия задачи известно, что сумма длин отрезков СМ и СП равна стороне треугольника AB или AC.
Обозначим длину стороны треугольника AB или AC как x.
Теперь рассмотрим треугольник СМP.
Так как треугольник АBC равносторонний, то треугольник CMP тоже является равносторонним, так как отрезок CM и CP равны и равны стороне треугольника AB или AC.
Таким образом, угол МО равен 60 градусов.
б) Для доказательства, что отрезки прямых, проведенных через центр равностороннего треугольника и заключенные между его сторонами, равны, мы можем использовать свойства равностороннего треугольника и теорему о равных треугольниках.
Пусть ABC - равносторонний треугольник, а D и E - точки на сторонах AB и AC соответственно, такие что угол BDE равен 60 градусов.
Мы хотим доказать, что отрезки BD и DE равны.
Доказательство:
1. Поскольку AB и AC равносторонний треугольник, то все его стороны и углы равны.
2. Около треугольника BDE можно построить равносторонний треугольник BFG, где FG - продолжение DE.
3. Поскольку треугольник BFG равносторонний, то все его стороны и углы равны.
4. Так как отрезок BG является общей стороной равносторонних треугольников BDE и BFG, а угол B равен 60 градусов, то по теореме о равных треугольниках отрезки BD и DE равны.
Таким образом, мы доказали, что отрезки прямых, проведенных через центр равностороннего треугольника и заключенные между его сторонами, равны.