Question

Знайти ліміт послідовності

Answer 1

Ответ:

Предел последовательности .

$\bf \lim\limits _{n \to \infty}\ \dfrac{(1-cosn)\cdot \sqrt[3]{\bf n}}{\sqrt{2n+1}-1}=\lim\limits _{n \to \infty}\ \dfrac{2\, sin^2\dfrac{n}{2}\cdot \sqrt[3]{\bf n}\cdot (\sqrt{2n+1}+1)}{(\sqrt{2n+1}-1)(\sqrt{2n+1}+1)}=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\ \dfrac{2\cdot sin^2\dfrac{n}{2}\cdot \sqrt[3]{\bf n}\cdot (\sqrt{2n+1}+1)}{(2n+1)-1}=\lim\limits _{n \to \infty}\ \dfrac{2\cdot sin^2\dfrac{n}{2}\cdot \sqrt[3]{\bf n}\cdot (\sqrt{2n+1}+1)}{2n}=$

$\bf =\lim\limits _{n \to \infty}\ \dfrac{sin^2\dfrac{n}{2}\cdot (\sqrt{2n+1}+1)}{\sqrt[3]{\bf n^2}}=\Big[\ (\sqrt{2n+1} +1)\sim \sqrt{2n}\ \ ,\ n\to \infty \ \Big]=\\\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\ \bf sin^2\dfrac{n}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[6]{\bf n}}=0$      

 Величина  $\bf sin^2\dfrac{n}{2}$ ограниченная , так как   $\bf 0\leq sin^2\dfrac{n}{2}\leq 1$  ,  а ограниченная величина , умноженная на бесконечно малую , даёт бесконечно малую .