9. У внутрішній області квадрата, сторона якого дорівнює 4 см, розташована точка F, так, що кут AF B дорівнює 83°, а кут FAD - 76°. Знайдіть довжину вiдрiзка АF.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання завдання нам знадобиться знання про властивості кутів напівкола та прямокутників.
Оскільки точка f розташована всередині квадрата, можемо побачити, що кут afb має бути прямим кутом, оскільки точка b є вершиною квадрата.
За даними, кут afb дорівнює 83°, а кут fad дорівнює 76°. Знаючи це, ми можемо знайти кут afd, який дорівнює 180° - 83° - 76° = 21°.
Отже, ми знаємо, що кут afd дорівнює 21°. Оскільки квадрат є прямокутником, можемо зрозуміти, що кут adf також дорівнює 21°.
Розглянемо прямокутний трикутник adf. Знаючи два кути (21°, 90°) і одну сторону (сторону ad, яка дорівнює довжині сторони квадрата), ми можемо вважати, що трикутник adf є трикутником з поперечником (або трикутником з відсотком).
За властивостями трикутника з поперечником, сторона протилежна куту в 90°, дорівнює добутку інших двох сторін трикутника, тобто
ad² = af ⋅ df.
Ми знаємо, що довжина сторони квадрата ad дорівнює 4 см і що кут adf дорівнює 21°. Тоді можемо записати рівняння:
4² = af ⋅ df.
Розглянемо трикутник afb. Ми знаємо, що adf = 21°, а кут afb = 90°. Тобто, кут baf дорівнює 90° - 21° = 69°.
Знаючи кут baf та df, ми можемо використати тригонометрію для знаходження af:
cos(69°) = af / df,
af = cos(69°) ⋅ df.
Тепер ми маємо два рівняння, які ми можемо об'єднати і вирішити:
4² = af ⋅ df,
af = cos(69°) ⋅ df.
Підставимо вираз для af з другого рівняння у перше:
4² = cos(69°) ⋅ df ⋅ df,
16 = cos(69°) ⋅ df².
Тепер розв'яжемо рівняння щодо df²:
df² = 16 / cos(69°),
df² ≈ 16.49,
df ≈ √16.49,
df ≈ 4.07 см.
Оскільки af = cos(69°) ⋅ df, підставимо знайдене значення для df:
af ≈ cos(69°) ⋅ 4.07,
af ≈ 0.342 ⋅ 4.07,
af ≈ 1.39 см.
Таким чином, довжина відрізка Af дорівнює приблизно 1.39 см.