Question

Знайти відстань від точки А(–1;2;3) до площини, що про- ходить через точки В(1;2;1), С(2;–3;4), D(–4;5;1).
13. Дано координати вершин чотиригранника ABCD Засобами векторної алгебри знайти:
• довжину ребра АВ;
• рівняння прямої АВ;
• рівняння площини АВС;
• кут нахилу ребра AD до площини АВС;
• площу грані АВС;
• об’єм тетраедра;
• рівняння висоти DE, опущеної з вершини D на грань АВС;
• довжину висоти DE;
• проекцію Е вершини D на площину АВС;
• точку D’, симетричну точці D відносно грані АВС;
• площину, що проходить через ребро AD перпендику- лярно до площини АВС.
A(0;–4;6); B(8;–1;0); C(–4;–3;–9); D(1;–4;1).

Answer 1

1) Находим уравнение плоскости по точкам В(1;2;1), С(2;–3;4), D(–4;5;1).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC – zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1            y - 2            z - 1

2 – 1            -3 - 2            4 - 1

-4 – 1            5 - 2            1 – 1   = 0

x - 1            y – 2               z - 1

 1              -5              3

 -5               3              0   = 0

(x - )(-5·0-3·3)  - (y – 2)(1·0-3·(-5))  + (z – 1)(1·3-(-5)·(-5)) = 0

(-9)(x – 1)  + (-15)(y – 2)  + (-22)(z – 1)  = 0

- 9x - 15y - 22z + 61 = 0 или

  9x + 15y + 22z - 61 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D|

                                                     √(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d =   |9·(-1) + 15·2 + 22·3 + (-61)|

              √(9² + 15² + 22²)

 =   |-9 + 30 + 66 - 61|

      √(81 + 225 + 484)

=   26

  √ 790

 = (13/395) ·√790 ≈ 0.925038.

2) 13. Дано координати A(0;–4;6); B(8;–1;0); C(–4;–3;–9); D(1;–4;1) вершин чотиригранника ABCD.

Засобами векторної алгебри знайти:

а) довжину ребра АВ;

AB = √((8 - 0)² + ((-1) - (-4))² + (0 – 6)²) = √(8² + 3² + (– 6)²) =

     = √(64 + 9 + 36) = √109 ≈ 10,44030651.

б)  рівняння прямої АВ;

В пункте а) определился вектор АВ(8; 3; -6). По этому вектору и координатам точки A(0;–4;6) определяем уравнение прямой АВ.

(x – 0)/8 = (y + 4)/3 = (z – 6)/(-6).

с)  рівняння площини АВС;

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0         y - (-4)             z - 6

8 - 0         -1 - (-4)            0 - 6

-4 – 0             -3 - (-4)           -9 – 6   = 0

x - 0   y - (-4)            z - 6

 8            3                  -6

-4            1                 -15   = 0

(x – 0)(3·(-15)-(-6)·1) - (y - (-4))(8·(-15)-(-6)·(-4)) + (z – 6)(8·1-3·(-4))   = 0

(-39)(x – 0)  + 144(y - (-4))  + 20(z – 6)  = 0

- 39x + 144y + 20z + 456 = 0 или

  39x - 144y - 20z - 456 = 0.