Question

Задача про знаходження параметрів геометричних фігур та векторів.
Допоможіть будь ласка:

Задані координати чотирьох точок A₁, A₂, A₃, A₄. Треба знайти:
а) довжину та напрям вектора A₁A₄;
б) кут між векторами A₁A₂ та A₁A₃;
в) площу трикутника A₁A₂A₃;
г) об'єм піраміди A₁A₂A₃A₄;
д) рівняння площини A₁A₂A₄;
е) висоту піраміди, проведену з вершини A₄ до грані A₁A₂A₃.

Координати точок:
$A_1(1;3;6), \quad A_2(2;2;1), \quad A_3(-1;0;1), \quad A_4(-4;6;-3).$

Answer 1

Ответ:

Добрий день!

Для вирішення даної задачі, спочатку потрібно знайти вектори A₁A₄, A₁A₂ та A₁A₃.

Для знаходження вектора A₁A₄, від координат точки A₄ віднімаємо координати точки A₁:

A₁A₄ = (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁) = (2 - 1, 2 - 3, 1 - 6) = (1, -1, -5)

Для знаходження вектора A₁A₂, від координат точки A₂ віднімаємо координати точки A₁:

A₁A₂ = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) = (2 - 1, 2 - 3, 1 - 6) = (1, -1, -5)

Для знаходження вектора A₁A₃, від координат точки A₃ віднімаємо координати точки A₁:

A₁A₃ = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) = (-1 - 1, 0 - 3, 1 - 6) = (-2, -3, -5)

а) Довжина вектора A₁A₄ обчислюється за формулою:

|A₁A₄| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) = √(1² + (-1)² + (-5)²) = √(1 + 1 + 25) = √27 ≈ 5.196

б) Кут між векторами A₁A₂ та A₁A₃ можна знайти за допомогою скалярного добутку векторів:

cos(θ) = (A₁A₂ · A₁A₃) / (|A₁A₂| · |A₁A₃|)

де (A₁A₂ · A₁A₃) - скалярний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₃,

|A₁A₂| - довжина вектора A₁A₂,

|A₁A₃| - довжина вектора A₁A₃.

Скалярний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₃:

A₁A₂ · A₁A₃ = (1 -2) + (-1 -3) + (-5 -5) = -2 + 3 + 25 = 26

Довжина вектора A₁A₂:

|A₁A₂| = √(1² + (-1)² + (-5)²) = √(1 + 1 + 25) = √27 ≈ 5.196

Довжина вектора A₁A₃:

|A₁A₃| = √((-2)² + (-3)² + (-5)²) = √(4 + 9 + 25) = √38 ≈ 6.164

Тепер можемо обчислити кут між векторами A₁A₂ та A₁A₃:

cos(θ) = (A₁A₂ · A₁A₃) / (|A₁A₂| · |A₁A₃|) = 26 / (5.196 6.164) ≈ 0.821

θ = arccos(0.821) ≈ 35.29 градусів

в) Площа трикутника A₁A₂A₃ може бути обчислена за допомогою векторного добутку векторів A₁A₂ та A₁A₃:

S = 1/2 |A₁A₂ × A₁A₃|

де A₁A₂ × A₁A₃ - векторний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₃.

Векторний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₃:

A₁A₂ × A₁A₃ = ((-1) (-5) - (-1) (-3), (-5) (-2) - (-1) (-5), (-1) (-3) - (-1) (-2)) = (-2, -5, -1)

Площа трикутника A₁A₂A₃:

S = 1/2 |(-2, -5, -1)| = 1/2 √((-2)² + (-5)² + (-1)²) = 1/2 √(4 + 25 + 1) = 1/2 √30 ≈ 2.738

г) Об'єм піраміди A₁A₂A₃A₄ можна обчислити, використовуючи формулу:

V = 1/6 |(A₁A₂ × A₁A₃) · A₁A₄|

де (A₁A₂ × A₁A₃) - векторний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₃,

A₁A₄ - вектор A₁A₄.

Векторний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₃:

A₁A₂ × A₁A₃ = (-2, -5, -1)

Обчислимо скалярний добуток векторних добутків (A₁A₂ × A₁A₃) та A₁A₄:

(A₁A₂ × A₁A₃) · A₁A₄ = (-2 1) + (-5 -1) + (-1 -5) = -2 + 5 + 5 = 8

Об'єм піраміди A₁A₂A₃A₄:

V = 1/6 |8| = 1/6 8 = 4/3 ≈ 1.333

д) Рівняння площини A₁A₂A₄ можна записати у вигляді:

Ax x + By y + Cz z + D = 0

де (A, B, C) - нормальний вектор площини, що перпендикулярний до площини,

D - відстань від початку координат до площини.

Для знаходження нормального вектора площини, можемо використати векторний добуток векторів A₁A₂ та A₁A₄:

(A, B, C) = A₁A₂ × A₁A₄ = (1, -1, -5) × (1, -1, -5)

Векторний добуток векторів (1, -1, -5) × (1, -1, -5):

(A, B, C) = ((-1) (-5) - (-1) (-5), (-5) 1 - (-1) (-5), (-1) (-1) - (-1) 1) = (0, 0, 0)

Отримали нульовий вектор, що означає, що площина A₁A₂A₄ є паралельною площині XOY (площині, що лежить у площині xOy та паралельна площині xOz).

е) Висоту піраміди, проведену з вершини A₄ до грані A₁A₂A₃ можна знайти,

Пошаговое объяснение:

Я незнаю чи правельно якщо не правельно вибач:(,