Доброго времени суток, прошу помочь решить уравнения методом вариации произвольных постоянных:
1) y''' + 4y = 1/cos2x
2) y'' - y = 1/x
3) y'' - 2y' + y = ((x^2) +2x+2)/x^3
4) y'' - y = 4 sqrt(x) + 1/x sqrt(x)
Ответы
Ответ:
Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
1) y''' + 4y = 1/cos(2x)
Для начала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
a) y''' + 4y = 0
Характеристическое уравнение данного уравнения:
r^3 + 4 = 0
Решив характеристическое уравнение, получим три вещественных корня:
r1 = -2
r2 = 1 + i√3
r3 = 1 - i√3
Общее решение однородного уравнения:
y_h = c1e^(-2x) + c2e^(x)cos(√3x) + c3e^(x)sin(√3x)
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде y_p = A/cos^2(2x)
Для нахождения постоянной A возьмем производные:
y_p' = -2A tan(2x)
y_p'' = -4A sec^2(2x)
Подставим эти значения в исходное уравнение:
-4A sec^2(2x) + 4A/cos^2(2x) = 1/cos^2(2x)
Упростим уравнение и получим:
-4A + 4A sec^4(2x) = 1
Отсюда находим значение постоянной A:
A = 1/4
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:
y_p = (1/4) / cos^2(2x)
Конечное решение:
y = y_h + y_p = c1e^(-2x) + c2e^(x)cos(√3x) + c3e^(x)sin(√3x) + (1/4) / cos^2(2x)
2) y'' - y = 1/x
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
a) y'' - y = 0
Характеристическое уравнение:
r^2 - 1 = 0
Общее решение однородного уравнения:
y_h = c1e^x + c2e^(-x)
Попробуем частное решение в виде y_p = A ln(x)
Подставим это в исходное уравнение:
- A/x + A ln(x) = 1/x
Отсюда находим значение постоянной A:
A = -1
Частное решение неоднородного уравнения:
y_p = -ln(x)
Конечное решение:
y = y_h + y_p = c1e^x + c2e^(-x) - ln(x)
3) y'' - 2y' + y = (x^2 + 2x + 2)/x^3
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
a) y'' - 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение:
r^2 - 2r + 1 = 0
(r - 1)^2 = 0
r = 1 (корень кратности 2)
Общее решение однородного уравнения:
y_h = (c1 + c2x)e^x
Попробуем частное решение в виде y_p = Ax^2 + Bx + C
Подставим это в исходное уравнение и упростим его:
2A - 2A + Ax^2 + Bx + C = (x^2 + 2x + 2)/x^3
Отсюда находим значения постоянных A, B, C:
A = 1/3, B = -5/3, C = 2/3
Частное решение неоднородного уравнения:
y_p = (1/3)x^2 - (5/3)x + (2/3)
Конечное решение:
y = y_h + y_p = (c1 + c2x)e^x + (1/3)x^2 - (5/3)x + (2/3)
4) y'' - y = 4√(x) + (1/x)√(x)
Общее решение соответствующего однородного уравнения:
a) y'' - y = 0
Характеристическое уравнение:
r^2 - 1 = 0
Общее решение однородного уравнения:
y_h = c1e^x + c2e^(-x)
Попробуем частное решение в виде y_p = Ax^(3/2) + B/x^(1/2)
Подставим это в исходное уравнение и упростим его:
3A/2 - B/2x^(3/2) + Ax^(3/2) + B/x^(1/2) = 4√(x) + (1/x)√(x)
Сравнивая коэффициенты, находим:
3A/2 + Ax^(3/2) = 4√(x)
- B/2x^(3/2) + B/x^(1/2) = (1/x)√(x)
Отсюда находим значения постоянных A и B:
A = 8/3, B = -4/3
Частное решение неоднородного уравнения:
y_p = (8/3)x^(3/2) - (4/3)/x^(1/2)
Конечное решение:
y = y_h + y_p = c1e^x + c2e^(-x) + (8/3)x^(3/2) - (4/3)/x^(1/2).