Question

Точка D не лежить у площині трикутника ABC. На відрізках DA, DB i DC вибрано такі точки A1, B1 і C1, відповідно, що DA1 : A1A=DB1 : B1B=DC1 : C1C. Доведіть, що площини ABC і A1 B1 C1 паралельні.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Давайте позначимо вектори AD, DB і DC через

�

⃗

a

,

�

⃗

b

 і

�

⃗

c

 відповідно. Також, нехай

�

k - це спільний член пропорції, тобто

�

1

⃗

=

�

�

⃗

,

�

1

⃗

=

�

�

⃗

,

�

1

⃗

=

�

�

⃗

.

a

1

​

​

=k

a

,

b

1

​

​

=k

b

,

c

1

​

​

=k

c

.

Позначимо вектори відповідних сторін трикутників ABC і A1B1C1 як

�

�

⃗

AB

,

�

�

⃗

BC

,

�

�

⃗

CA

 і

�

1

�

1

⃗

A

1

​

B

1

​

​

,

�

1

�

1

⃗

B

1

​

C

1

​

​

,

�

1

�

1

⃗

C

1

​

A

1

​

​

 відповідно.

Тепер розглянемо вектор

�

1

�

1

⃗

A

1

​

B

1

​

​

. Ми можемо виразити його, використовуючи вектори

�

⃗

A

,

�

⃗

B

 і

�

k:

�

1

�

1

⃗

=

�

1

⃗

−

�

1

⃗

=

�

�

⃗

−

�

�

⃗

=

�

(

�

⃗

−

�

⃗

)

=

�

�

�

⃗

.

A

1

​

B

1

​

​

=

A

1

​

​

−

B

1

​

​

=k

A

−k

B

=k(

A

−

B

)=k

AB

.

Аналогічно отримаємо

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

B

1

​

C

1

​

​

=k

BC

 і

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

C

1

​

A

1

​

​

=k

CA

.

За умовою, ми знаємо, що

�

�

1

⃗

:

�

1

�

⃗

=

�

�

1

⃗

:

�

1

�

⃗

=

�

�

1

⃗

:

�

1

�

⃗

=

�

DA

1

​

​

:

A

1

​

A

​

=

DB

1

​

​

:

B

1

​

B

​

=

DC

1

​

​

:

C

1

​

C

​

=k. Отже, ми можемо записати:

�

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

,

�

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

,

�

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

.

DA

1

​

​

=k

DA

,

DB

1

​

​

=k

DB

,

DC

1

​

​

=k

DC

.

Тепер ми можемо використовувати ці вектори для вираження відповідних сторін трикутників ABC і A1B1C1:

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

,

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

,

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

.

A

1

​

B

1

​

​

=k

AB

,

B

1

​

C

1

​

​

=k

BC

,

C

1

​

A

1

​

​

=k

CA

.

Таким чином, всі сторони трикутника A1B1C1 є векторами, які пропорційні відповідним сторонам трикутника ABC з однаковим коефіцієнтом

�

k.

Тепер давайте розглянемо вектори площин ABC і A1B1C1. Вектор нормалі до площини ABC можна знайти, взявши векторний добуток сторін

�

�

⃗

AB

 і

�

�

⃗

AC

:

�

�

�

�

⃗

=

�

�

⃗

×

�

�

⃗

.

N

ABC

​

​

=

AB

×

AC

.

Аналогічно, вектор нормалі до площини A1B1C1 буде:

�

�

1

�

1

�

1

⃗

=

�

1

�

1

⃗

×

�

1

�

1

⃗

.

N

A1B1C1

​

​

=

A

1

​

B

1

​

​

×

A

1

​

C

1

​

​

.

Оскільки

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

A

1

​

B

1

​

​

=k

AB

 і

�

1

�

1

⃗

=

�

�

�

⃗

A

1

​

C

1

​

​

=k

AC

, ми можемо виразити

�

�

1

�

1

�

1

⃗

N

A1B1C1

​

​

 як

�

2

k

2

 помножити на

�

�

�

�

⃗

N

ABC

​

​

:

�

�

1

�

1

�

1

⃗

=

�

2

⋅

�

�

�

�

⃗

.

N

A1B1C1

​

​

=k

2

⋅

N

ABC

​

​

.

Це означає, що вектори нормалі до площин ABC і A1B1C1 також пропорційні, з коефіцієнтом

�

2

k

2

.

Якщо вектори нормалі пропорційні, то площини паралельні. Таким чином, площини ABC і A1B1C1 є паралельними.