У чотирикутнику ABCD сума кутів, прилеглих до сторони AD, дорівнює 90°. Точки K i L - середини сторін ВС і AD від- повідно, точки М і N середини діагоналей. Доведіть, що MN = KL.
Ответы
Нехай ABCD - чотирикутник, сума кутів, прилеглих до сторони AD, дорівнює 90°. Точки K i L - середини сторін ВС і AD відповідно, точки М і N середини діагоналей.
Доведемо, що MN = KL.
Розглянемо трикутники BCD і BAD.
Оскільки K і L - середини сторін ВС і AD відповідно, то BK = CL і AL = LD.
Також, оскільки сума кутів, прилеглих до сторони AD, дорівнює 90°, то ∠BCD + ∠BAD = 90°.
Тоді, з трикутників BCD і BAD, випливає, що
∠BCD = 90° - ∠BAD
∠BCD = 90° - ∠BCD/2
∠BCD = 90° - 45°
∠BCD = 45°
Тобто, трикутники BCD і BAD - прямокутні, а їхні кути при основі рівні.
Оскільки M і N - середини діагоналей, то BM = CM і AN = DN.
Також, оскільки трикутники BCD і BAD - прямокутні, то CM = CN і AN = DN.
Тоді, з трикутників BMC і ANB, випливає, що
BM = CM
AN = DN
MN = CM + AN
MN = CM + CM
MN = 2 * CM
MN = 2 * CN
Оскільки CM = CN, то MN = 2 * CM = 2 * CN = KL.
Отже, MN = KL.