Question

Доведи, що сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3.

Answer 1

Нехай три послідовні натуральні числа дорівнюють n, n+1 і n+2. Тоді їхня сума дорівнює:

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3

Оскільки n - натуральне число, то 3n також є натуральним числом. Таким чином, 3n+3 є натуральним числом, яке закінчується на 3.

Оскільки будь-яке натуральне число, яке закінчується на 3, ділиться на 3, то й сума трьох послідовних натуральних чисел також ділиться на 3.

Доказ по індукції

Основний випадок:

Для n=1, сума трьох послідовних натуральних чисел дорівнює 1+2+3=6, яке ділиться на 3.

Індукційний крок:

Припустимо, що для n=k, сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3. Тоді:

(k + 1) + (k + 2) + (k + 3) = (3k + 6)

Оскільки k - натуральне число, то 3k також є натуральним числом. Таким чином, 3k+6 є натуральним числом, яке закінчується на 3.

Оскільки будь-яке натуральне число, яке закінчується на 3, ділиться на 3, то й сума трьох послідовних натуральних чисел також ділиться на 3.

Висновок:

Отже, за індукцією, сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3 для будь-якого натурального числа n.