В комнате есть n свечей и k выключателей. Вначале каждая свеча или горит, или гаснет. Каждая лампа подключена по 2020 выключателеми с помощью проволоки. При нажатии на упор лампа, включенная тем же выключателем, меняет свое положение на противоположное положение.
Известно, что нажимая на выключатели в той или иной последовательности, можно привести все свечи в включенное положение. К данному результату путем нажатия выключателей не более числа k/2
докажите, что вы можете достичь. Здесь число [X] является целой частью действительного числа X, т. е. X
наибольшее целое число, не превышающее.
(Это задание переведено с казахского, надеюсь ты поймешь)
Ответы
Ответ:
Для достижения данного результата необходимо использовать следующую стратегию:
1. Нажать на любой выключатель, который подключен к первой свече.
2. Нажать на выключатель, который подключен ко второй свече.
3. Нажать на выключатель, который подключен к третьей свече.
4. Продолжать нажимать на выключатели, которые подключены к свечам с номерами 4, 5, 6, ..., n-1.
5. В итоге останется только одна свеча, которая не изменит свое положение после нажатия на выключатель, подключенный к ней.
6. Повторить ту же самую последовательность нажатий на выключатели, но в обратном порядке (начиная с выключателя, подключенного к последней свече).
7. В результате все свечи будут включены.
Данная стратегия позволяет достичь цели с помощью не более k/2 нажатий на выключатели, так как каждое нажатие меняет положение двух свечей (одной включается, другой выключается). Таким образом, для включения n свечей необходимо не более n/2 нажатий на выключатели, а для их выключения - еще столько же. Итого получаем, что для достижения данного результата необходимо не более k/2 нажатий на выключатели.