Question

Двойной интеграл, помогите пожалуйста, очень подробно, если можете, с рисунком.

Answer 1

Ответ:

Вычислить двойной интеграл по области D .

$\bf D:\ y+x=1\ ,\ y+x=2\ ,\ x\leq 1\ ,\ x\geq 0$  

Область проектируется на ось ОХ в отрезок [ 0 ; 1 ] . Точка входа в область лежит на прямой  у = 1 - х , точка выхода - на прямой  у = 2 - х

$\displaystyle \bf \iint \limits _{D}(x^3+y)\, dx\, dy=\int\limits_0^1\, dx\int\limits_{1-x}^{2-x}\, (x^3+y)\, dy=\\\\\\=\int\limits_0^1\, dx\Big(\int\limits_{1-x}^{2-x}\, x^3\, dy+\int\limits_{1-x}^{2-x}\, y\, dy\Big)=\int\limits_0^1\, dx\Big(x^3\cdot y+\dfrac{y^2}{2}\Big)\, \Big|_{1-x}^{2-x}=\\\\\\=\int\limits_0^1\, \Big(x^3\, (2-x)+\frac{(2-x)^2}{2}-x^3\, (1-x)-\frac{(1-x)^2}{2}\Big)\, dx=$              

$\bf \displaystyle =\int\limits_0^1\, \Big(2x^3-x^4+\frac{4-4x+x^2}{2}-x^3+x^4-\frac{1-2x+x^2}{2}\Big)\, dx=\\\\\\=\int\limits_0^1\, \Big(x^3+2-2x+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}\Big)\, dx=\int\limits_0^1\, \Big(x^3-x+\frac{3}{2}\Big)\, dx=\\\\\\=\Big(\dfrac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}\, x\Big)\, \Big|_0^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{4}+1=1\frac{1}{4}=1,25$