Question

1 /2! + 2 /3! + 3 /4! +...+ n/((n + 1)!) = 1 - 1/((n + 1)!) .

Answer 1

Доказательство:

По условию утверждается, что:

$\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} +\ldots+ \dfrac{n}{(n+1)!} = 1 - \dfrac{1}{(n+1)!}$

Докажем равенство, используя метод математической индукции.

1. Проверим справедливость равенства при $n=1$:

$\dfrac{1}{2!} = 1 - \dfrac{1}{(1+1)!}$

$\dfrac{1}{2!} = 1 - \dfrac{1}{2!}$

$\dfrac{1}{2} = 1 - \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

Верно.

2. Предположим, что при $n=k$ соответствующее равенство верно:

$\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} +\ldots+ \dfrac{k}{(k+1)!} = 1 - \dfrac{1}{(k+1)!}$

3. Докажем, что тогда и при $n=k+1$ равенство будет выполняться:

$\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} +\ldots+ \dfrac{k}{(k+1)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!} = 1 - \dfrac{1}{(k+2)!}$

Сумму всех слагаемых, кроме последнего, в левой части заменим, используя соотношение, записанное на 2 шаге:

$\left(\dfrac{1}{2!} + \dfrac{2}{3!} + \dfrac{3}{4!} +\ldots+ \dfrac{k}{(k+1)!}\right) + \dfrac{k+1}{(k+2)!} = 1 - \dfrac{1}{(k+2)!}$

$1 - \dfrac{1}{(k+1)!}+ \dfrac{k+1}{(k+2)!} = 1 - \dfrac{1}{(k+2)!}$

Из обеих частей равенства вычтем 1, а также числитель и знаменатель первой дроби умножим на $(k+2)$:

$- \dfrac{k+2}{(k+1)!\cdot(k+2)}+ \dfrac{k+1}{(k+2)!} = - \dfrac{1}{(k+2)!}$

$- \dfrac{k+2}{(k+2)!}+ \dfrac{k+1}{(k+2)!} = - \dfrac{1}{(k+2)!}$

Можно умножить обе части соотношения на общий знаменатель:

$-(k+2)+ k+1 = - 1$

Остается раскрыть скобки и убедиться в справедливости равенства:

$-k-2+ k+1 = - 1$

$-1= - 1$

Таким образом, предложенное равенство доказано.